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Máximo común divisor: qué es, cómo se calcula y problemas de repartos resueltos
En pocas palabras
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos de forma exacta. Por ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 18 es 6: los dos se pueden dividir entre 6 sin que sobre nada, y no hay ningún divisor común mayor.
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Qué significa máximo común divisor
También se entiende leyendo el nombre al revés: divisor, un número que divide a otro de forma exacta; común, que divide a la vez a todos los números, y máximo, el mayor de ellos.
Los divisores de un número se pueden contar, y el 1 es divisor común de cualquier pareja de números. En España se abrevia m.c.d. y en México se escribe MCD, en mayúsculas.
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Divisores comunes: 1, 2, 3 y 6. El mayor es 6, así que m.c.d. (12, 18) = 6.
Cómo se calcula el m.c.d. con listas de divisores
Para no olvidar ningún divisor, búscalos por parejas que multiplicadas den el número: 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6.
Atajo: prueba con los divisores del número menor, de mayor a menor. El primero que también divida al otro número es el m.c.d.
- 1. Escribe todos los divisores de cada número.
- 2. Rodea los que se repiten en todas las listas.
- 3. El mayor de los que has rodeado es el m.c.d.
- Ejemplo con 24 y 36. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Comunes: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por tanto, m.c.d. (24, 36) = 12.
Cómo calcular el m.c.d. por descomposición en factores primos
Descompón cada número en factores primos y multiplica solo los factores comunes, los que aparecen en todos los números, cada uno con el menor exponente.
En la tabla se calcula el m.c.d. de 24 y 36. El 2 y el 3 están en los dos números; el 2 aparece como poco dos veces y el 3, como poco una.
- m.c.d. (60, 90, 150): 60 = 2² × 3 × 5; 90 = 2 × 3² × 5; 150 = 2 × 3 × 5². Factores comunes con el menor exponente: 2 × 3 × 5 = 30.
| Número | Factores primos | Con potencias |
|---|---|---|
| 24 | 2 × 2 × 2 × 3 | 2³ × 3 |
| 36 | 2 × 2 × 3 × 3 | 2² × 3² |
| m.c.d. (24, 36) | 2 × 2 × 3 | 2² × 3 = 12 |
Casos especiales
Fíjate primero en si estás en alguno de estos casos: te ahorrarás muchas cuentas.
- Si un número es divisor del otro, el m.c.d. es el menor: m.c.d. (8, 32) = 8.
- Si el único divisor común es el 1, el m.c.d. es 1 y se dice que los números son primos entre sí: m.c.d. (8, 15) = 1, aunque ni el 8 ni el 15 son primos.
- Dos números primos distintos siempre tienen el 1 como m.c.d.: m.c.d. (7, 13) = 1.
- El m.c.d. nunca es mayor que el menor de los números.
Problemas de repartos
El m.c.d. se usa cuando hay que repartir, agrupar o cortar en partes iguales, lo más grandes posible, sin que sobre nada. También sirve para simplificar una fracción en un solo paso.
- Aisha tiene 24 galletas de chocolate y 36 de vainilla. Quiere hacer bolsas iguales, con el mayor número posible de galletas y sin mezclar sabores. Como m.c.d. (24, 36) = 12, cada bolsa lleva 12 galletas: salen 2 bolsas de chocolate y 3 de vainilla.
- Una cartulina mide 30 cm por 42 cm y se quiere cortar en cuadrados iguales, lo más grandes posible, sin que sobre nada. Como m.c.d. (30, 42) = 6, los cuadrados tendrán 6 cm de lado, y caben 5 × 7 = 35 cuadrados.
- Para simplificar 18/24, divide el numerador y el denominador entre m.c.d. (18, 24) = 6. Así, 18/24 = 3/4.
¿Es un problema de mcm o de mcd?
Fíjate en lo que pregunta el enunciado y en el tamaño que debe tener el resultado.
| Si el problema dice… | Usa | El resultado es… |
|---|---|---|
| Repartir en grupos iguales lo más grandes posible | m.c.d. | Igual o menor que los datos |
| Cortar en trozos iguales lo más largos posible | m.c.d. | Igual o menor que los datos |
| ¿Cuándo vuelven a coincidir? | m.c.m. | Igual o mayor que los datos |
| El menor número que se puede repartir en grupos de… y de… | m.c.m. | Igual o mayor que los datos |
Trucos para recordarlo
- El m.c.d. es igual o menor que el número más pequeño. Si te sale mayor, revisa la cuenta.
- Con factores primos: solo los comunes, cada uno con su menor exponente.
- Prueba los divisores del número menor, de mayor a menor: el primero que divida al otro es el m.c.d.
- Repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible → m.c.d.
Errores frecuentes
- Dar el divisor común más pequeño (el 1) en lugar del mayor.
- Tomar todos los factores primos con el mayor exponente: así se obtiene el m.c.m.
- Olvidar algún divisor en las listas: si se te escapa el 12 en los divisores de 24 y de 36, darás 6 como m.c.d.
- Pensar que el m.c.d. solo puede ser 1 cuando los números son primos: m.c.d. (8, 15) = 1.
Para leer y practicar
Ficha de ejercicios para imprimir
5 ejercicios con hoja de soluciones.
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se saca el MCD de tres números?
Igual que con dos: busca los divisores comunes a los tres o multiplica los factores primos que aparecen en los tres, con el menor exponente. Por ejemplo, m.c.d. (12, 18, 24) = 6, porque el 6 divide a los tres y ningún número mayor lo hace.
¿Qué quiere decir que dos números son primos entre sí?
Que su único divisor común es el 1, es decir, que su m.c.d. es 1. No hace falta que sean primos: 8 y 15 son primos entre sí, aunque los dos son compuestos.
¿Hay otra forma de calcular el m.c.d.?
Sí, el algoritmo de Euclides. Divide el número mayor entre el menor; si la división no es exacta, divide el divisor entre el resto, y repite hasta que el resto sea 0. El último divisor es el m.c.d. Con 48 y 36: 48 ÷ 36 = 1, resto 12; 36 ÷ 12 = 3, resto 0. Por tanto, m.c.d. (48, 36) = 12.