Aprende · Matemáticas · 5.º Primaria – 1.º ESO5.º Primaria – 1.º ESO
Mínimo común múltiplo: qué es, cómo sacarlo paso a paso y problemas resueltos
En pocas palabras
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes, sin contar el 0. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, porque 12 es el primer número que está a la vez en la tabla del 4 y en la del 6.
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Qué significa mínimo común múltiplo
El nombre se entiende mejor leído al revés: múltiplo, un número que sale al multiplicar otro por 1, 2, 3…; común, que está a la vez en las listas de todos los números, y mínimo, el más pequeño de ellos.
Dos números tienen infinitos múltiplos comunes, por eso se busca el menor. El 0 es múltiplo de todos los números, pero no se cuenta. En España se abrevia m.c.m. y en México se escribe mcm, en minúsculas.
- Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24…
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
- Múltiplos comunes: 12, 24, 36… El menor es 12, así que m.c.m. (3, 4) = 12.
Cómo sacar el mínimo común múltiplo con listas de múltiplos
Es el método más sencillo y sirve para números pequeños.
Atajo: escribe solo los múltiplos del número mayor y para en el primero que se pueda dividir de forma exacta entre el menor. Con 6 y 8: el 8 no es múltiplo de 6, el 16 tampoco y el 24 sí.
- 1. Escribe los primeros múltiplos de cada número.
- 2. Rodea los que aparecen en todas las listas.
- 3. El menor de los que has rodeado es el m.c.m.
- Ejemplo con 6 y 8. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48… Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48… Comunes: 24, 48… Por tanto, m.c.m. (6, 8) = 24.
Cómo calcular el m.c.m. por descomposición en factores primos
Con números grandes, las listas se hacen muy largas. Entonces es mejor descomponer cada número en factores primos y multiplicar todos los factores que aparecen, comunes y no comunes, cada uno con el mayor exponente, es decir, tantas veces como más se repita en uno de los números.
En la tabla se calcula el m.c.m. de 12 y 18. El 2 aparece como mucho dos veces (en el 12) y el 3, como mucho dos veces (en el 18).
- m.c.m. (20, 30, 45): 20 = 2² × 5; 30 = 2 × 3 × 5; 45 = 3² × 5. Se toman 2², 3² y 5: 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.
| Número | Factores primos | Con potencias |
|---|---|---|
| 12 | 2 × 2 × 3 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3 × 3 | 2 × 3² |
| m.c.m. (12, 18) | 2 × 2 × 3 × 3 | 2² × 3² = 36 |
Atajos que ahorran cuentas
Antes de hacer listas o descomponer, comprueba si estás en uno de estos casos.
- Si un número es múltiplo del otro, el m.c.m. es el mayor: m.c.m. (5, 15) = 15.
- Si los dos números solo tienen el 1 como divisor común (son primos entre sí), el m.c.m. es su producto: m.c.m. (4, 9) = 4 × 9 = 36.
- Dos números primos distintos siempre son primos entre sí: m.c.m. (7, 11) = 77.
- El m.c.m. nunca es menor que el mayor de los números ni mayor que su producto.
Para qué sirve el mínimo común múltiplo
Se usa en los problemas de coincidencias: cuando dos cosas se repiten cada cierto tiempo y quieres saber cuándo volverán a pasar a la vez. También sirve para sumar y restar fracciones con distinto denominador.
- Dos autobuses salen de la misma parada a las 9:00, uno cada 12 minutos y otro cada 18. Volverán a salir juntos dentro de m.c.m. (12, 18) = 36 minutos, a las 9:36.
- Lucía riega las plantas de la clase cada 3 días y Omar limpia la pecera cada 5. Si hoy coinciden, volverán a coincidir dentro de m.c.m. (3, 5) = 15 días.
- Para sumar 1/4 + 1/6 se busca el m.c.m. de los denominadores, que es 12: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
- El cuadrado más pequeño que se puede formar con baldosas (losetas) de 6 cm por 8 cm sin cortarlas tiene 24 cm de lado, porque m.c.m. (6, 8) = 24.
mcm y mcd: no los confundas
Se calculan con los mismos números, pero responden a preguntas distintas. En la última fila de la tabla están los dos resultados para 12 y 18.
| Comparación | m.c.m. | m.c.d. |
|---|---|---|
| Qué es | El menor de los múltiplos comunes | El mayor de los divisores comunes |
| Comparado con los números | Igual o mayor que el mayor | Igual o menor que el menor |
| Con factores primos | Todos los factores, con el mayor exponente | Solo los comunes, con el menor exponente |
| Se usa para | Coincidencias y denominadores comunes | Repartos en partes iguales y simplificar fracciones |
| Con 12 y 18 | 36 | 6 |
Trucos para recordarlo
- El m.c.m. es igual o mayor que el número más grande. Si te sale más pequeño, revisa la cuenta.
- Escribe los múltiplos del número mayor y para en el primero que se pueda dividir entre el menor.
- Con factores primos: todos los factores, cada uno con su mayor exponente.
- Si el problema pregunta cuándo vuelven a coincidir dos cosas, usa el m.c.m.
Errores frecuentes
- Confundir el m.c.m. con el m.c.d. y dar un resultado menor que los números del problema.
- Multiplicar siempre los dos números: m.c.m. (4, 6) no es 24, sino 12.
- Contar el 0 como múltiplo común: el m.c.m. nunca es 0.
- En la descomposición, tomar solo los factores comunes o el menor exponente: así se obtiene el m.c.d.
Para leer y practicar
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5 ejercicios con hoja de soluciones.
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Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre el mcm y el mcd?
El mcm (m.c.m.) es el menor múltiplo común y nunca es menor que los números; el MCD (m.c.d.) es el mayor divisor común y nunca es mayor que ellos. Con 12 y 18, el m.c.m. es 36 y el m.c.d. es 6. El primero se usa en problemas de coincidencias y el segundo, en repartos.
¿Cómo se saca el mínimo común múltiplo de tres números?
Igual que con dos: con listas de múltiplos o descomponiendo los tres números en factores primos. Por ejemplo, 4 = 2², 6 = 2 × 3 y 9 = 3², así que m.c.m. (4, 6, 9) = 2² × 3² = 36.
¿Qué relación hay entre el m.c.m. y el m.c.d. de dos números?
Si multiplicas el m.c.m. por el m.c.d. de dos números, obtienes el producto de esos dos números. Con 12 y 18: 36 × 6 = 216 y 12 × 18 = 216. Sirve para comprobar los resultados.
¿Existe el máximo común múltiplo?
No. Los múltiplos comunes de dos números son infinitos, así que siempre hay uno mayor. Por eso solo tiene sentido buscar el mínimo.