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Propiedades de la suma y la multiplicación: conmutativa, asociativa, distributiva
En pocas palabras
Las propiedades de la suma y la multiplicación son reglas que se cumplen siempre con estas operaciones y ayudan a calcular de forma más sencilla. Las principales son la conmutativa, la asociativa, el elemento neutro y, en la multiplicación, la distributiva.
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Propiedad conmutativa
El orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma, y el orden de los factores no cambia el resultado de la multiplicación.
La resta y la división no cumplen esta propiedad: 9 − 3 no es lo mismo que 3 − 9.
- 7 + 5 = 5 + 7 = 12.
- 4 × 6 = 6 × 4 = 24.
- Para calcular 2 + 49, es más fácil pensar 49 + 2 = 51.
Propiedad asociativa
Cuando sumas o multiplicas tres o más números, puedes agruparlos como quieras y el resultado no cambia. Los paréntesis indican qué operación se hace primero.
Es muy útil para buscar parejas que den decenas o centenas redondas.
- (3 + 7) + 5 = 3 + (7 + 5) = 15.
- (2 × 5) × 9 = 2 × (5 × 9) = 90.
- 25 + 38 + 75 = (25 + 75) + 38 = 100 + 38 = 138.
- 4 × 7 × 25 = (4 × 25) × 7 = 100 × 7 = 700.
Elemento neutro
El elemento neutro de la suma es el 0: si sumas 0 a un número, el número no cambia. El elemento neutro de la multiplicación es el 1: si multiplicas un número por 1, el número no cambia.
En la multiplicación, además, el 0 es el elemento absorbente: cualquier número multiplicado por 0 da 0.
- 15 + 0 = 15.
- 15 × 1 = 15.
- 15 × 0 = 0.
Propiedad distributiva
Multiplicar un número por una suma da lo mismo que multiplicar ese número por cada sumando y después sumar los resultados. También funciona con la resta.
Es la base del cálculo mental de multiplicaciones: descompones un factor en decenas y unidades y multiplicas por partes.
- 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78.
- 7 × 12 = 7 × 10 + 7 × 2 = 70 + 14 = 84.
- 9 × 8 = 10 × 8 − 1 × 8 = 80 − 8 = 72.
- Al revés (sacar factor común): 5 × 8 + 5 × 2 = 5 × (8 + 2) = 5 × 10 = 50.
Resumen de las propiedades
En la tabla, las letras a, b y c representan números cualesquiera.
| Propiedad | Suma | Multiplicación |
|---|---|---|
| Conmutativa | a + b = b + a | a × b = b × a |
| Asociativa | (a + b) + c = a + (b + c) | (a × b) × c = a × (b × c) |
| Elemento neutro | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Distributiva | No se aplica | a × (b + c) = a × b + a × c |
Trucos para recordarlo
- Conmutativa viene de conmutar, que significa cambiar: cambias el orden y no pasa nada.
- Asociativa viene de asociar: haz grupos que sumen 10 o 100, o que multiplicados den 10 o 100.
- Para multiplicar por 9, multiplica por 10 y resta el número: 9 × 7 = 70 − 7 = 63.
Errores frecuentes
- Aplicar la conmutativa a la resta o a la división: 10 − 4 no es igual que 4 − 10.
- En la distributiva, multiplicar solo el primer sumando: 3 × (4 + 5) no es 12 + 5, sino 12 + 15.
- Pensar que el elemento neutro de la multiplicación es el 0 (es el 1).
- Confundir el elemento neutro de la multiplicación (1) con el absorbente (0).
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4 ejercicios con hoja de soluciones.
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Preguntas frecuentes
¿La resta y la división tienen estas propiedades?
No cumplen la conmutativa ni la asociativa: 8 − 3 no es igual que 3 − 8, ni 12 ÷ 4 igual que 4 ÷ 12. Están muy relacionadas con la suma y la multiplicación, porque son sus operaciones inversas.
¿Para qué sirve aprender las propiedades?
Para calcular mentalmente más rápido y con menos errores, buscando decenas redondas o descomponiendo números, y como base del álgebra que se estudia en Secundaria.
¿Qué es el elemento absorbente?
Es el 0 en la multiplicación: cualquier número multiplicado por 0 da 0 (35 × 0 = 0). Algunos libros lo presentan como una propiedad más de la multiplicación.