Tiro parabólico: alcance, altura máxima y tiempo de vuelo
Un proyectil lanzado en el aire avanza con MRU en horizontal y cae con MRUA en vertical a la vez: la suma de los dos movimientos es una parábola.
Dos movimientos a la vez
Un balón chutado hacia arriba, el chorro de una manguera o una canica que sale rodando de una mesa siguen una curva que se llama parábola. La clave para estudiarla es separar el movimiento en dos que ocurren a la vez y no se estorban: en horizontal no actúa ninguna fuerza (sin rozamiento con el aire), así que el proyectil avanza con velocidad constante; en vertical actúa el peso, y el proyectil sube y baja con la aceleración de la gravedad, como en un lanzamiento vertical.
Lo primero es descomponer la velocidad inicial, v₀, que forma un ángulo α con la horizontal. Su parte horizontal es v₀ · cos α y su parte vertical, v₀ · sen α. En el tiro horizontal, α = 0: toda la velocidad inicial es horizontal y la vertical empieza en cero.
Las ecuaciones del tiro
Con el origen en el suelo, debajo del punto de lanzamiento, y el eje vertical hacia arriba, la posición del proyectil en cada instante sale de una ecuación para cada eje. El tiempo es el mismo en las dos: es lo que las une.
- Tiempo de vuelo: el proyectil llega al suelo cuando y = 0. Desde el suelo sale t = 2 · v₀ · sen α / g; desde una altura, hay que resolver la ecuación de segundo grado y quedarse con la raíz positiva.
- Alcance: la distancia horizontal recorrida en ese tiempo, x = v₀ · cos α · t.
- Altura máxima: arriba del todo la velocidad vertical es cero; se alcanza a los v₀ · sen α / g segundos y sube v₀² · sen² α / (2 · g) sobre el punto de lanzamiento.
- Velocidad al llegar: la horizontal no ha cambiado y la vertical se calcula con la ecuación de la velocidad; el módulo es la raíz de la suma de sus cuadrados.
El ángulo que más lejos llega
Lanzando desde el suelo y sin rozamiento, el alcance es v₀² · sen (2α) / g. Como el seno vale como mucho 1, y solo vale 1 cuando 2α = 90°, el alcance es máximo con un ángulo de 45°. Además, dos ángulos que suman 90°, como 30° y 60°, dan el mismo alcance: el de 60° sube más alto y tarda más, pero cae en el mismo sitio. La trayectoria es simétrica: tarda lo mismo en subir que en bajar.
En la realidad, el rozamiento del aire acorta el alcance y rompe la simetría; los lanzadores de peso, además, sueltan la bola a cierta altura. Por eso los mejores ángulos reales suelen ser algo menores de 45°.
| Ángulo | Tiempo de vuelo (s) | Alcance (m) | Altura máxima (m) |
|---|---|---|---|
| 15° | 1,06 | 20,4 | 1,37 |
| 30° | 2,04 | 35,3 | 5,10 |
| 45° | 2,89 | 40,8 | 10,2 |
| 60° | 3,53 | 35,3 | 15,3 |
| 75° | 3,94 | 20,4 | 19,0 |
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Un balón de fútbol sale desde el suelo a 20 m/s con un ángulo de 30° sobre la horizontal. Sin rozamiento con el aire, calcula el tiempo que está en el aire, el alcance y la altura máxima.
v 0x = v₀ · cos α = 20 m/s · cos 30° = 17,320… ≈ 17,3 m/s
v 0y = v₀ · sen α = 20 m/s · sen 30° = 10 m/s
Ecuaciones del movimiento:
x = 17,32 · t; y = 10 · t − 4,9 · t²
(x e y en m, t en s)
Vuelve al suelo cuando su altura es cero:
0 = v 0y · t − 1/2 · g · t², así que t v = 2 · v 0y / g = 2 · 10 m/s / 9,8 m/s² = 2,0408… ≈ 2,04 s
x máx = v 0x · t v = 17,32 m/s · 2,041 s = 35,347… ≈ 35,3 m
(alcance)
En lo más alto la velocidad vertical es cero:
t s = v 0y / g = 10 m/s / 9,8 m/s² = 1,0204… ≈ 1,02 s
y máx = v 0y² / (2 · g) = (10 m/s)² / (2 · 9,8 m/s²) = 5,1020… ≈ 5,10 m
(altura máxima)
Solución t = 2,04 s; alcance 35,3 m; altura máxima 5,10 m
Ejemplo 2: Una canica rueda por una mesa de 1,2 m de altura y sale por el borde en horizontal a 3 m/s. a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? b) ¿A qué distancia horizontal del borde cae? c) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
Tiro horizontal:
v 0x = v₀ = 3 m/s y v 0y = 0 m/s
Ecuaciones del movimiento:
x = 3 · t; y = 1,2 − 4,9 · t²
(x e y en m, t en s)
Llega al suelo cuando su altura es cero:
0 = h − 1/2 · g · t², así que t v = √(2 · h / g) = √(2 · 1,2 m / 9,8 m/s²) = 0,49487… ≈ 0,495 s
x máx = v 0x · t v = 3 m/s · 0,4949 s = 1,4846… ≈ 1,48 m
(alcance)
Al llegar al suelo, la velocidad horizontal no ha cambiado:
v x = v 0x = 3 m/s
v y = v 0y − g · t v = 0 m/s − 9,8 m/s² · 0,4949 s = −4,8497… ≈ −4,85 m/s
v = √(v x² + v y²) = √((3 m/s)² + (−4,850 m/s)²) = 5,7026… ≈ 5,70 m/s
Solución t = 0,495 s; alcance 1,48 m; v = 5,70 m/s
Ejemplo 3: Una piedra sale desde 10 m de altura a 15 m/s con un ángulo de 45° sobre la horizontal. Sin rozamiento con el aire, calcula el tiempo que está en el aire, el alcance y la altura máxima.
v 0x = v₀ · cos α = 15 m/s · cos 45° = 10,606… ≈ 10,6 m/s
v 0y = v₀ · sen α = 15 m/s · sen 45° = 10,606… ≈ 10,6 m/s
Ecuaciones del movimiento:
x = 10,61 · t; y = 10 + 10,61 · t − 4,9 · t²
(x e y en m, t en s)
Llega al suelo cuando su altura es cero:
0 = h + v 0y · t − 1/2 · g · t²
t v = (v 0y + √(v 0y² + 2 · g · h)) / g = (10,61 m/s + √((10,61 m/s)² + 2 · 9,8 m/s² · 10 m)) / 9,8 m/s² = 2,8745… ≈ 2,87 s
x máx = v 0x · t v = 10,61 m/s · 2,875 s = 30,489… ≈ 30,5 m
(alcance)
En lo más alto la velocidad vertical es cero:
t s = v 0y / g = 10,61 m/s / 9,8 m/s² = 1,0823… ≈ 1,08 s
y máx = h + v 0y² / (2 · g) = 10 m + (10,61 m/s)² / (2 · 9,8 m/s²) = 15,739… ≈ 15,7 m
(altura máxima)
Solución t = 2,87 s; alcance 30,5 m; altura máxima 15,7 m
Errores frecuentes
- Usar v₀ entera en las dos ecuaciones: en horizontal va v₀ · cos α y en vertical, v₀ · sen α.
- Poner aceleración en el eje horizontal: sin rozamiento, en horizontal el movimiento es uniforme.
- Calcular la altura máxima con el tiempo de vuelo: arriba se llega a la mitad de ese tiempo (desde el suelo), cuando la velocidad vertical es cero.
- Tener la calculadora en radianes al hacer sen 30°: el resultado sale absurdo.
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 lo sitúa en Física y Química de 1.º de Bachillerato, con la «Relación de la trayectoria de un movimiento compuesto con las magnitudes que lo describen» (saber FQ.D.3). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Física y Química · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Física y Química, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos
D. Cinemática
- Relación de la trayectoria de un movimiento compuesto con las magnitudes que lo describen.
- Variables cinemáticas en función del tiempo en los distintos movimientos que puede tener un objeto, con o sin fuerzas externas: resolución de situaciones reales relacionadas con la física y el entorno cotidiano.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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