Teorema de Bayes y probabilidad total, con árboles y tablas
El teorema de Bayes da la probabilidad de una causa cuando ya se conoce el resultado. Se apoya en la probabilidad condicionada y en la probabilidad total.
Apartados del tema (6)
Probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada P(A | B), la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, cambia el universo: ya no cuentan todos los casos, solo los de B. Por eso es la parte de B en la que también ocurre A, P(A ∩ B), dividida entre P(B). Solo tiene sentido si P(B) no es 0.
Despejando sale la regla del producto, que es la de los diagramas de árbol. El orden importa: P(A | B) y P(B | A) suelen ser distintas. La probabilidad de dar positivo en una prueba si se tiene una enfermedad no es la de tener la enfermedad si se ha dado positivo; confundirlas es el error más frecuente.
Sucesos contrarios e independientes
El suceso contrario de A, el que ocurre cuando no ocurre A, se escribe aquí con una c arriba (en muchos libros, con una raya encima o con una prima) y su probabilidad es 1 − P(A). Con él y las leyes de De Morgan se resuelven las preguntas de «ninguno» y «alguno no»: que no ocurra ninguno de los dos es el contrario de que ocurra alguno.
Dos sucesos son independientes si saber que ha ocurrido uno no cambia la probabilidad del otro: P(A | B) = P(A), o lo que es lo mismo, P(A ∩ B) = P(A) · P(B), que es como se comprueba. No hay que confundirlos con los incompatibles, que no pueden ocurrir a la vez: si dos sucesos incompatibles tienen probabilidad positiva, son dependientes, porque saber que ocurrió uno hace imposible el otro.
Tablas de contingencia
Cuando los datos son recuentos de dos características a la vez, se ordenan en una tabla de contingencia: cada casilla es una intersección y los totales de filas y columnas dan cada suceso por separado. Con la regla de Laplace, la probabilidad de una casilla es su número dividido entre el total.
La condicionada se lee quedándose con una fila o una columna: si se sabe que quien responde estudia Humanidades y CC. SS., solo cuentan los 110 de esa fila, y P(F | H) = 16/55 ≈ 0,2909. Con la tabla también se comprueba la independencia: se compara la probabilidad de una casilla con el producto de las probabilidades de su fila y de su columna (para «Ciencias y Tecnología» e «Inglés», 72/200 frente a 90/200 · 150/200, en el ejemplo 1).
| Inglés (I) | Francés (F) | Total | |
|---|---|---|---|
| Ciencias y Tecnología (C) | 72 | 18 | 90 |
| Humanidades y CC. SS. (H) | 78 | 32 | 110 |
| Total | 150 | 50 | 200 |
Diagramas de árbol
Un experimento en dos etapas (primero sale el pedido de un almacén y después llega a tiempo o con retraso) se dibuja con un diagrama de árbol. En cada rama se escribe su probabilidad; las de la segunda etapa son probabilidades condicionadas a la rama de la que salen.
Dos reglas lo resuelven todo: las ramas que salen de un mismo punto suman 1, y la probabilidad de un camino es el producto de sus ramas. Al final, todos los caminos juntos también suman 1, lo que sirve para comprobar el árbol antes de seguir.
Teorema de la probabilidad total
Si los sucesos A₁, A₂… Aₙ forman un sistema completo (no pueden ocurrir dos a la vez y siempre ocurre uno), la probabilidad de otro suceso B es la suma de los caminos del árbol que acaban en B: es el teorema de la probabilidad total.
En el ejemplo de los almacenes, P(R) = 0,5 · 0,02 + 0,3 · 0,03 + 0,2 · 0,04 = 0,01 + 0,009 + 0,008 = 0,027: llega con retraso el 2,7 % de los pedidos, una media de los tres porcentajes de retraso en la que cada almacén pesa según los pedidos que envía.
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes recorre el árbol al revés: se conoce el resultado (el pedido llegó con retraso) y se pregunta por la causa (de qué almacén salió). La probabilidad buscada es el camino de esa causa dividido entre todos los caminos que llevan a ese resultado.
A las probabilidades de las causas, P(A₁), P(A₂)…, se las llama a priori, porque son las de antes de observar nada, y a las condicionadas al resultado, P(A₁ | B), P(A₂ | B)…, a posteriori: dicen cómo cambia lo que se sabe de las causas al conocer el resultado. En el ejemplo, el almacén 2 pasa de 0,3 a 1/3 porque se retrasa algo más que la media. El ejemplo del cribado muestra lo que hay detrás de muchos titulares: con una enfermedad poco frecuente, la mayoría de los positivos pueden ser falsos.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Se pregunta a 200 estudiantes de 1.º de Bachillerato por su modalidad y por su primera lengua extranjera (tabla de los datos). Si se elige uno al azar: a) Si estudia Humanidades y CC. SS., ¿qué probabilidad hay de que estudie Francés? b) Y si estudia Francés, ¿qué probabilidad hay de que sea de Humanidades y CC. SS.? c) ¿Son independientes «estudiar Ciencias y Tecnología» y «estudiar Inglés»?
Tabla de los datos Inglés (I) Francés (F) Total Ciencias y Tecnología (C) 72 18 90 Humanidades y CC. SS. (H) 78 32 110 Total 150 50 200 a) Si sabemos que está en la fila «Humanidades y CC. SS.», solo cuentan sus 110 casos; de ellos, 32 cumplen lo que se pregunta.
P(F | H) = 32/110 = 16/55 ≈ 0,2909
Es lo mismo que dice la fórmula de la probabilidad condicionada:
P(F | H) = (P(H ∩ F))/(P(H)) = (32/200)/(110/200) = 32/110
b) Si sabemos que está en la columna «Francés», solo cuentan sus 50 casos; de ellos, 32 cumplen lo que se pregunta.
P(H | F) = 32/50 = 16/25 = 0,64
Es lo mismo que dice la fórmula de la probabilidad condicionada:
P(H | F) = (P(H ∩ F))/(P(F)) = (32/200)/(50/200) = 32/50
c) Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades. Hay que ver si se cumple:
P(C ∩ I) = P(C) · P(I)
Lo comprobamos con la tabla:
P(C) · P(I) = 90/200 · 150/200 = 0,3375
Y la intersección: 72 de 200.
P(C ∩ I) = 72/200 = 9/25 = 0,36
No coinciden: los sucesos son dependientes (saber uno cambia la probabilidad del otro).
Solución a) P(F | H) = 16/55 ≈ 0,2909; b) P(H | F) = 0,64; c) no son independientes
Ejemplo 2: Una tienda en línea envía sus pedidos desde tres almacenes: el 50 % sale del almacén 1, el 30 % del 2 y el 20 % del 3. Llegan con retraso el 2 %, el 3 % y el 4 % de los pedidos de cada almacén, respectivamente. a) ¿Qué probabilidad hay de que un pedido llegue con retraso? b) Si un pedido ha llegado con retraso, ¿qué probabilidad hay de que saliera del almacén 2?
Sucesos: A₁, A₂ y A₃ = «el pedido sale del almacén 1, 2 o 3» y R = «llega con retraso». Datos: P(A₁) = 0,5, P(A₂) = 0,3, P(A₃) = 0,2; P(R | A₁) = 0,02, P(R | A₂) = 0,03, P(R | A₃) = 0,04.
a) A₁, A₂ y A₃ forman un sistema completo: no ocurren dos a la vez y siempre ocurre uno (sus probabilidades suman 1). R puede llegar por cualquiera de esos caminos: sumamos los caminos del árbol que acaban en R.
Teorema de la probabilidad total:
P(R) = P(A₁) · P(R | A₁) + P(A₂) · P(R | A₂) + P(A₃) · P(R | A₃)
Sustituimos y operamos:
P(R) = 0,5 · 0,02 + 0,3 · 0,03 + 0,2 · 0,04 = 0,01 + 0,009 + 0,008 = 0,027
b) Nos dan el resultado (R) y preguntan por la causa: es una probabilidad «a posteriori», el teorema de Bayes.
P(A₂ | R) = (P(A₂ ∩ R))/(P(R)) = (P(A₂) · P(R | A₂))/(P(R))
El denominador, la probabilidad total, ya está calculado:
P(R) = 0,027
Sustituimos:
P(A₂ | R) = (0,3 · 0,03)/0,027 = 0,009/0,027 = 1/3 ≈ 0,3333
Solución a) P(R) = 0,027; b) P(A₂ | R) = 1/3 ≈ 0,3333
Ejemplo 3: Una prueba de cribado da positivo en el 95 % de las personas que tienen una enfermedad y, por error, en el 10 % de las que no la tienen. La enfermedad afecta al 1 % de la población. Si una persona da positivo, ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?
Sucesos: E = «tiene la enfermedad», S = «está sana», + = «da positivo» y − = «da negativo». Datos: P(E) = 0,01, P(S) = 0,99, P(+ | E) = 0,95 y P(+ | S) = 0,1.
Nos dan el resultado (+) y preguntan por la causa: es una probabilidad «a posteriori», el teorema de Bayes.
P(E | +) = (P(E ∩ +))/(P(+)) = (P(E) · P(+ | E))/(P(+))
El denominador sale del teorema de la probabilidad total: se suman todos los caminos del árbol que acaban en +.
P(+) = P(E) · P(+ | E) + P(S) · P(+ | S)
Sustituimos y operamos:
P(+) = 0,01 · 0,95 + 0,99 · 0,1 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085
Sustituimos:
P(E | +) = (0,01 · 0,95)/0,1085 = 0,0095/0,1085 = 19/217 ≈ 0,0876
Sorprende: menos de un 9 %. Como la enfermedad es rara, la mayoría de los positivos son falsos positivos de las muchas personas sanas (0,099 frente a 0,0095). Por eso un positivo en un cribado se confirma con otra prueba.
Solución P(E | +) = 19/217 ≈ 0,0876
Errores frecuentes
- Confundir P(A | B) con P(B | A): la probabilidad de dar positivo estando enfermo no es la de estar enfermo habiendo dado positivo.
- Confundir sucesos independientes con sucesos incompatibles.
- Olvidar que las ramas de la segunda etapa son probabilidades condicionadas: P(R | A₁), no P(R).
- Sumar a lo largo de un camino del árbol (se multiplica) o multiplicar los caminos que acaban en el mismo resultado (se suman).
- Poner en el denominador del teorema de Bayes solo el camino que interesa en lugar de la probabilidad total.
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 sitúa la probabilidad condicionada, los diagramas de árbol, las tablas de contingencia y los teoremas de la probabilidad total y de Bayes en 2.º, en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. En 1.º, Matemáticas Generales (modalidad General) ya trabaja la probabilidad condicionada, los árboles, las tablas de contingencia y la probabilidad total, sin el teorema de Bayes. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
E. Sentido estocástico
- Incertidumbre: Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.
- Incertidumbre: Teoremas de la probabilidad total y de Bayes: resolución de problemas e interpretación del teorema de Bayes para actualizar la probabilidad a partir de la observación y la experimentación y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
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- Incertidumbre: Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.
- Incertidumbre: Teoremas de la probabilidad total y de Bayes: resolución de problemas e interpretación del teorema de Bayes para actualizar la probabilidad a partir de la observación y la experimentación y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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