Distribución normal: tipificación, tabla y problemas resueltos
La normal describe medidas que se agrupan en torno a su media en forma de campana. Para calcular una probabilidad se tipifica y se lee la tabla de la N(0, 1).
Apartados del tema (5)
Variables continuas y campana de Gauss
Muchas medidas, como la estatura, el peso de una pieza fabricada o el tiempo de un trayecto, se agrupan alrededor de un valor central y son cada vez menos frecuentes al alejarse de él. Se describen con la distribución normal N(μ; σ), cuya gráfica es la campana de Gauss: simétrica respecto de la media μ, más ancha cuanto mayor es la desviación típica σ y con sus puntos de inflexión en μ − σ y μ + σ.
Es una variable continua: la probabilidad no está en los valores sueltos, sino en los tramos, y es el área bajo la curva. El área total es 1 y un valor exacto tiene probabilidad 0, así que da igual escribir «<» que «≤». La regla 68-95-99,7 da una primera idea de cómo se reparte el área.
La normal estándar N(0, 1) y su tabla
La normal estándar, Z ~ N(0, 1), tiene media 0 y desviación típica 1. Su tabla da el área a la izquierda de cada z positivo, P(Z ≤ z), con z redondeado a centésimas: la unidad y las décimas están en la fila, y las centésimas, en la columna. Para z = 1,96 se busca la fila 1,9 y la columna 0,06: 0,9750.
Con la simetría de la campana y el área total 1 se resuelven los demás casos: el área a la derecha de z es 1 menos la de su izquierda, la de un z negativo es la que queda a la derecha de su opuesto y la de un intervalo es la diferencia de dos áreas.
Tipificar: de cualquier normal a la N(0, 1)
Para usar una sola tabla con todas las normales se tipifica: al valor se le resta la media y se divide entre la desviación típica. El resultado, z, dice a cuántas desviaciones típicas de la media está el valor y hacia qué lado: si la estatura de un grupo sigue una N(170; 8), 182 cm tipificado es (182 − 170)/8 = 1,5.
Después se redondea z a centésimas, como viene en la tabla, y se lee. Si el tiempo que tarda un autobús en su recorrido, en minutos, sigue una N(40; 5), la probabilidad de que tarde entre 35 y 48 minutos es P(−1 ≤ Z ≤ 1,6) = 0,9452 − 0,1587 = 0,7865.
Problemas inversos: de la probabilidad al valor
A veces se da la probabilidad y se pide el valor: la nota mínima del 10 % de los mejores resultados, el peso que solo supera el 5 % de las piezas. Se recorre el camino al revés: se busca la probabilidad dentro de la tabla, se lee el z de su fila y su columna, y se deshace la tipificación.
Si la probabilidad no está exacta en la tabla, se toma la más cercana; si cae justo entre dos (0,95 está entre 0,9495 y 0,9505), el punto medio, z = 1,645. Si el área que se busca a la izquierda es menor que 0,5, el valor está por debajo de la media: z es negativo y se busca su opuesto con 1 menos esa área.
Hallar la media y la desviación típica
En la PAU es frecuente el problema contrario: se conocen dos porcentajes y hay que encontrar μ y σ. Cada dato da un z con la tabla y una ecuación, (x − μ)/σ = z, que se escribe como x = μ + z · σ. Con dos datos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelve por reducción.
Si solo falta uno de los parámetros, basta un dato: con la media conocida se despeja σ, y con σ conocida, μ. Conviene comprobar que σ sale positiva y que el resultado tiene sentido en el contexto del problema.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: El tiempo que tarda un autobús urbano en hacer su recorrido sigue una distribución normal de media 40 minutos y desviación típica 5 minutos. ¿Qué probabilidad hay de que un viaje dure entre 35 y 48 minutos?
X sigue una normal N(40; 5). Para usar la tabla de la N(0, 1) se tipifica: Z = (X − μ)/σ.
Tipificamos los dos extremos:
P(35 ≤ X ≤ 48) = P((35 − 40)/5 ≤ Z ≤ (48 − 40)/5) = P(−1,00 ≤ Z ≤ 1,60)
Es el área hasta 1,60 menos el área hasta −1,00:
P(−1,00 ≤ Z ≤ 1,60) = P(Z ≤ 1,60) − P(Z ≤ −1,00)
En la tabla de la N(0, 1), fila 1,6 y columna 0,00:
P(Z ≤ 1,60) = 0,9452
La tabla solo trae valores positivos de z. Por la simetría de la campana, el área a la izquierda de −1,00 es la que queda a la derecha de 1,00; en la tabla, fila 1,0 y columna 0,00:
P(Z ≤ −1,00) = P(Z ≥ 1,00) = 1 − P(Z ≤ 1,00) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Restamos:
P(−1,00 ≤ Z ≤ 1,60) = 0,9452 − 0,1587 = 0,7865
Solución P(35 ≤ X ≤ 48) = 0,7865
Ejemplo 2: La duración de la batería de un modelo de móvil sigue una N(18; 2,5), en horas. ¿Cuántas horas dura, como mínimo, el 10 % de las baterías que más duran?
Buscamos el valor k que deja por encima el 10 % de las baterías: P(X ≥ k) = 0,1.
La tabla da el área a la izquierda: si a la derecha de k queda 0,1, a su izquierda queda 1 − 0,1 = 0,9.
P(X ≥ k) = 0,1 ⇔ P(X ≤ k) = 0,9
Tipificamos k:
P(X ≤ k) = P(Z ≤ (k − 18)/2,5) = 0,9
Buscamos 0,9 dentro de la tabla (al revés que en un problema directo): el valor más cercano es 0,8997, en la fila 1,2 y columna 0,08: z = 1,28.
P(Z ≤ z) = 0,9 ⇒ z ≈ 1,28
Deshacemos la tipificación y despejamos k:
(k − 18)/2,5 = 1,28 ⇒ k = 18 + 1,28 · 2,5 = 21,2
El 10 % de las baterías que más duran pasa de 21,2 horas.
Solución k = 21,2 horas
Ejemplo 3: En una prueba de acceso, el 15,87 % de quienes se presentan saca menos de 5 puntos y el 2,28 % saca más de 8. Si las notas siguen una distribución normal, ¿cuáles son su media y su desviación típica?
Datos: P(X ≤ 5) = 0,1587 y P(X ≥ 8) = 0,0228. Cada uno da una ecuación con μ y σ.
Como 0,1587 es menor que 0,5, z es negativo. Por simetría, buscamos el z positivo con P(Z ≤ z) = 1 − 0,1587 = 0,8413: está en la fila 1,0 y columna 0,00: z = 1,00; el que buscamos es su opuesto.
P(Z ≤ z) = 0,1587 ⇒ z = −1,00
Pasamos el dato a un área a la izquierda: P(X ≤ 8) = 1 − 0,0228 = 0,9772.
Buscamos 0,9772 dentro de la tabla (al revés que en un problema directo): está en la fila 2,0 y columna 0,00: z = 2,00.
P(Z ≤ z) = 0,9772 ⇒ z = 2,00
Igualamos cada tipificación a su z, (x − μ)/σ = z, y pasamos a la forma x = μ + z · σ:
Sistema: μ − σ = 5; μ + 2σ = 8
Restamos la primera ecuación de la segunda: se va μ.
3σ = 3 ⇒ σ = 3/3 = 1
Sustituimos σ en la primera ecuación:
μ = 5 + 1 = 6
Solución μ = 6; σ = 1
Errores frecuentes
- Leer la tabla como si diera el área a la derecha: da P(Z ≤ z), el área a la izquierda.
- Buscar en la tabla el valor de x sin tipificar.
- Tipificar con la varianza en lugar de con la desviación típica: si dan σ² = 16, se divide entre 4.
- En los problemas inversos, tomar la probabilidad como si fuera z en vez de buscarla dentro de la tabla.
- Dar un z negativo a un área a la izquierda mayor que 0,5 (o al revés): si deja por debajo más de la mitad, el valor está por encima de la media.
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 incluye la normal en 1.º en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y en Matemáticas Generales (modalidad General), y en 2.º en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II; en esta última, además, para los intervalos de confianza. Matemáticas I no la incluye. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º
D. Sentido estocástico
- Distribuciones de probabilidad: Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución.
- Distribuciones de probabilidad: Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Generales · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Generales, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos · Matemáticas Generales, Bachillerato, 1.º
E. Sentido estocástico
- Distribuciones de probabilidad: Distribuciones de probabilidad uniforme (discreta y continua), binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas: aplicación a la resolución de problemas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
E. Sentido estocástico
- Distribuciones de probabilidad: Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución.
- Distribuciones de probabilidad: Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
D. Sentido estocástico
- Distribuciones de probabilidad: Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución. Distribuciones binomial y normal.
- Distribuciones de probabilidad: Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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