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Tabla de la distribución normal N(0, 1)

La tabla de la normal estándar para consultar e imprimir, y una calculadora que tipifica y da P(X ≤ a), P(a ≤ X ≤ b) y percentiles de cualquier N(μ, σ), con la campana sombreada.

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Distribución normal N(μ, σ)

Qué quieres calcular

P = 0,7475Ver los pasos

Resultado

P = 0,7475

Es un 74,75 %. Con la tabla (z redondeado a centésimas): 0,7486.

Área sombreada a la izquierda de z = 0,67: 0,7475.−3−2−10123z = 0,67
Campana de la N(0, 1). El área sombreada es la probabilidad.

Paso a paso

  1. X sigue una normal N(100, 15). Para usar la tabla de la N(0, 1) se tipifica: Z = (X − μ)/σ.
  2. P(X ≤ 110) = P(Z ≤ (110 − 100)/15) = P(Z ≤ 0,67), con z redondeado a centésimas.
  3. En la tabla, fila 0,6 y columna 0,07: P(Z ≤ 0,67) = 0,7486.
  4. En una variable continua, la probabilidad de un valor exacto es 0: da igual «<» que «≤», y la tabla sirve para los dos.
  5. Sin redondear z (z = 0,6667), la probabilidad es 0,7475.

Tabla N(0, 1): P(Z ≤ z)

Filas: unidad y primera cifra decimal de z. Columnas: segunda cifra decimal. Cada casilla es el área bajo la campana a la izquierda de z.

Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar, de z = 0,00 a z = 3,99
z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,70,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,80,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,91,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000

Tabla de la normal para imprimir

Una página con z de 0 a 3,99 o dos con los valores negativos, con cuatro o cinco decimales, coma o punto decimal y el dibujo de la campana. PDF en A4 o Carta.

Paso 1: Elige un punto de partida

Paso 2: Personaliza

Valores de z
Decimales
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Cómo resolver un problema de la normal con la tabla

Los problemas de la distribución normal de Bachillerato se resuelven casi siempre con los mismos cuatro pasos. Un ejemplo: el peso de las manzanas de una cosecha sigue una N(180, 20), en gramos. ¿Qué proporción pesa 200 g o menos?

  1. Escribe lo que te piden con X: P(X ≤ 200).
  2. Tipifica: z = (200 − 180)/20 = 1. Ahora es P(Z ≤ 1).
  3. Busca en la tabla: fila 1,0 y columna 0,00: 0,8413.
  4. Interpreta: el 84,13 % de las manzanas pesa 200 g o menos.

Si te piden lo contrario (más de 200 g), resta de 1: 1 − 0,8413 = 0,1587. Para un intervalo, resta las áreas de sus extremos. Y para un percentil se hace el camino inverso: se busca dentro de la tabla la probabilidad, se lee z y se deshace la tipificación con x = μ + z·σ. La calculadora de arriba enseña también el valor sin redondear z, para que veas cuánto cambia.

Para practicar, el tema de la distribución normal tiene un generador de problemas (leer la tabla, tipificar, problemas inversos y hallar la media o la desviación típica), con la tabla y el solucionario paso a paso.

La teoría, con problemas directos e inversos resueltos y cómo hallar la media y la desviación típica a partir de dos porcentajes, está en el tema de la distribución normal. Para aproximar una binomial por la normal con la corrección de Yates, mira el tema de la distribución binomial y su calculadora.

Ideas para clase

  • La regla 68-95-99,7: con la calculadora, que comprueben qué parte de los datos queda a una, dos y tres desviaciones de la media (P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0,6827, y así con 2 y 3).
  • Tabla en el examen: imprime la tabla en B/N y repártela con la prueba; con la versión de valores negativos se evitan errores de simetría.
  • De la tabla a la calculadora: después de resolver a mano, compara el resultado con z redondeado a centésimas y con el valor exacto, y comenta por qué la diferencia es tan pequeña.
  • En la pizarra digital: en pantalla completa, cambia a, b o el percentil y comenta cómo se mueve el área sombreada.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se lee la tabla de la normal?

Separa z en dos partes: la unidad y la primera cifra decimal te dan la fila, y la segunda cifra decimal, la columna. Para z = 1,96, busca la fila 1,9 y la columna 0,06: P(Z ≤ 1,96) = 0,9750. La tabla da siempre el área a la izquierda de z.

¿Y si z es negativo?

La campana es simétrica respecto de 0, así que P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z). Por ejemplo, P(Z ≤ −1) = 1 − 0,8413 = 0,1587. Si prefieres no hacer la cuenta, descarga la tabla con valores negativos.

¿Cómo se calcula P(Z ≥ z) o P(a ≤ Z ≤ b)?

P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z), porque el área total bajo la campana es 1. Entre dos valores, resta las dos áreas: P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a). En una variable continua da igual poner «<» que «≤».

¿Qué es tipificar?

Pasar de una normal N(μ; σ) a la N(0, 1) restando la media y dividiendo entre la desviación típica: Z = (X − μ)/σ. Así una sola tabla sirve para todas las normales.

¿Cómo están calculados los valores?

Con la función de error, Φ(z) = ½·[1 + erf(z/√2)], en coma flotante de doble precisión, y redondeados a cuatro decimales (o cinco, si lo eliges en la versión para imprimir). Coinciden con las tablas de los libros: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,645) ≈ 0,95 y Φ(2,58) = 0,9951.

Enlaza este recurso

Si lo recomiendas en tu blog, en la web del centro o en el aula virtual, copia este código y pégalo donde quieras que aparezca el enlace. Se verá así: Tabla de la distribución normal N(0, 1) (Aulapedia).

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