Calculadora de sistemas de ecuaciones
Escribe dos ecuaciones con x e y, o tres con x, y y z, y elige el método. La calculadora resuelve paso a paso, dice de qué tipo es el sistema, dibuja las rectas y comprueba la solución.
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Escribe el sistema
x = 3; y = 2Ver los pasos
Escribe una ecuación en cada casilla, con las incógnitas x e y. Pueden llevar paréntesis, fracciones (x/2 + y/3 = 4) o tener una incógnita ya despejada (y = 2x − 1): la calculadora las prepara primero.
Has escrito: Sistema: 2x + 3y = 12; 3x − y = 7
Resultado
Sistema compatible determinado
x = 3; y = 2
Paso a paso (reducción)
Para eliminar la y, sus coeficientes tienen que ser opuestos: multiplicamos la segunda por 3.
Sistema: 2x + 3y = 12; 9x − 3y = 21
Sumamos las dos ecuaciones miembro a miembro: la y desaparece.
11x = 33
Despejamos la x.
x = 33/11 = 3
Sustituimos x = 3 en la segunda ecuación y despejamos la y.
3 · 3 − y = 7
Transponemos términos: los que llevan y, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
−y = 7 − 9
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
−y = −2
Cambiamos el signo de los dos miembros (multiplicamos por −1).
y = 2
Solución: x = 3, y = 2. El sistema es compatible determinado: las dos rectas se cortan en el punto (3, 2).
Comprobación: sustituimos x = 3, y = 2 en las ecuaciones de partida y se cumplen todas.
Sistema: 2 · 3 + 3 · 2 = 6 + 6 = 12; 3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7
Ejemplos para probar
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Los tres métodos y el de Gauss, explicados
Resolver un sistema es encontrar los valores que cumplen todas las ecuaciones a la vez. Con dos ecuaciones y dos incógnitas, el truco de los tres métodos es el mismo: conseguir una ecuación con una sola incógnita.
- Sustitución. Se despeja una incógnita en una ecuación y su expresión se sustituye en la otra. La calculadora elige la letra con coeficiente 1 o −1 si la hay, para no arrastrar fracciones.
- Igualación. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones. Si salen denominadores, se quitan con el m.c.m. como en cualquier ecuación.
- Reducción. Se multiplica cada ecuación por el número adecuado para que una incógnita tenga coeficientes opuestos; al sumar, desaparece. Se elige la incógnita que necesita multiplicadores más pequeños.
Con la incógnita hallada, se vuelve atrás para calcular la otra y se comprueba la pareja en las ecuaciones de partida. Si en el camino desaparecen las dos incógnitas, el final lo dice todo: 0 = 0 significa infinitas soluciones y una igualdad falsa, ninguna.
Con tres ecuaciones se usa el método de Gauss: con la primera ecuación se elimina la x de las otras dos, con la segunda se elimina la y de la tercera y queda un sistema escalonado que se resuelve de abajo arriba. La calculadora escribe cada combinación (E₃ → E₃ + 3E₂) y simplifica las ecuaciones cuando todos sus números tienen un divisor común.
Ideas para usarla en clase
- Un sistema, tres métodos: reparte el mismo sistema entre tres grupos, cada uno con un método, y compara cuántas líneas ha necesitado cada grupo. Así se ve cuándo compensa cada método.
- Predecir con la gráfica: antes de pulsar, que la clase diga si las rectas se cortarán, coincidirán o serán paralelas mirando solo los coeficientes. La figura lo confirma.
- Problemas de enunciado: edades, monedas o entradas de un concierto. Plantea las dos ecuaciones en la pizarra y usa la calculadora solo para comprobar el planteamiento.
- Gauss sin miedo: en Bachillerato, proyecta un sistema de tres ecuaciones y que cada alumno proponga la siguiente combinación de ecuaciones antes de verla.
El tema de sistemas de ecuaciones tiene la explicación, ejemplos resueltos por los tres métodos y más fichas.
Preguntas frecuentes
¿Qué método conviene usar?
Los tres dan la misma solución. Sustitución, si alguna incógnita tiene coeficiente 1 o −1 y se despeja sin fracciones. Igualación, si las dos ecuaciones ya tienen despejada la misma letra. Reducción, cuando ninguna incógnita está sola: se multiplican las ecuaciones para que una letra tenga coeficientes opuestos y se suman.
¿Qué quiere decir compatible determinado, indeterminado o incompatible?
Compatible determinado: hay una sola solución y las dos rectas se cortan en un punto. Compatible indeterminado: las dos ecuaciones dicen lo mismo, son la misma recta y hay infinitas soluciones. Incompatible: las rectas son paralelas y no hay ninguna solución. En México se dice que el sistema tiene una solución, infinitas o ninguna.
¿Qué es la λ que aparece en algunas soluciones?
Cuando hay infinitas soluciones, una incógnita puede tomar cualquier valor: se le llama λ (lambda) y las demás se escriben en función de ella. Por ejemplo, x = 3 − 2λ, y = λ: con λ = 0 sale la solución (3, 0) y con λ = 1, la (1, 1).
¿Puedo escribir ecuaciones con fracciones o con paréntesis?
Sí. Antes de aplicar el método, la calculadora prepara cada ecuación: quita denominadores y paréntesis y la deja en la forma ax + by = c. También admite una incógnita ya despejada, como y = 2x − 1.
¿Y los sistemas de tres ecuaciones?
Elige «Tres ecuaciones» y escribe tres ecuaciones con x, y y z. Se resuelven por el método de Gauss: se combinan las ecuaciones (E₂ → E₂ − 2E₁…) hasta dejar el sistema escalonado y luego se despeja de abajo arriba. Si una ecuación no tiene la incógnita que toca, se cambia el orden.
¿Resuelve por determinantes o por la regla de Cramer?
No: resuelve por sustitución, igualación y reducción, los tres métodos de la ESO (en México, la reducción se llama suma y resta), y por el método de Gauss, que se estudia en Bachillerato. El método gráfico aparece en la figura de las dos rectas.
¿En México el método de reducción se llama igual?
En secundaria es más habitual llamarlo método de suma y resta, y en bachillerato también reducción. Es el mismo procedimiento: con el país de México elegido arriba, la calculadora lo nombra así.
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Fichas de sistemas de ecuaciones con soluciones
Sistemas para resolver por sustitución, por igualación, por reducción o por el método que cada uno prefiera, sistemas para clasificar y de tres ecuaciones por Gauss. El solucionario lleva todos los pasos. En A4 o Carta, PDF o Word.
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