Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Escribe los coeficientes a, b y c, o la ecuación tal como la tengas, y verás el discriminante, la fórmula general y las soluciones, o el atajo si la ecuación es incompleta.
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Escribe la ecuación
La ecuación tiene que estar en la forma ax² + bx + c = 0. Si falta un término, su coeficiente es 0. Admite negativos (−5), fracciones (1/2) y decimales.
x₁ = 3; x₂ = 2Ver los pasos
La ecuación: x² − 5x + 6 = 0
Resultado
Ecuación de segundo grado
Discriminante: Δ = b² − 4ac = 1. Por eso hay dos soluciones reales distintas.
x₁ = 3; x₂ = 2
Paso a paso
Es completa. Los coeficientes son a = 1, b = −5 y c = 6.
Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, x = (−b ± √Δ)/(2a):
x = (5 ± √1)/(2 · 1) = (5 ± 1)/2
x₁ = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
x₂ = (5 − 1)/2 = 4/2 = 2
Comprobación: sustituimos x = 3 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
Comprobación: sustituimos x = 2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
Ejemplos para probar
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Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es la que, una vez ordenada, queda como ax² + bx + c = 0 con a distinto de 0. La calculadora sigue el mismo orden que se pide en clase:
- Ordenar. Si hay denominadores o paréntesis, los quita; luego pasa todo al primer miembro, reduce y ordena de mayor a menor grado. Si todos los coeficientes tienen un divisor común, simplifica; si a es negativo, cambia todos los signos.
- Mirar si es incompleta. Sin término en x, despeja x² y hace la raíz con sus dos signos. Sin término independiente, saca factor común x y usa que un producto vale 0 si alguno de sus factores vale 0.
- Calcular el discriminante. Escribe Δ = b² − 4ac con los coeficientes entre paréntesis cuando son negativos, porque es donde más se falla con los signos.
- Aplicar la fórmula general. x = (−b ± √Δ)/(2a) da las dos soluciones: x₁ con el signo más y x₂ con el signo menos.
- Comprobar. Sustituye cada solución en la ecuación de partida, o usa la suma y el producto de las soluciones si llevan raíces.
Con la opción de coeficientes, solo hay que escribir a, b y c (también fracciones como 1/2 o decimales). El discriminante aparece antes de los pasos, así que sabes cuántas soluciones hay sin leer nada más. Si la ecuación es de primer grado, bicuadrada o una inecuación, usa la calculadora de ecuaciones, que las reconoce todas.
Ideas para usarla en clase
- Cuántas soluciones, sin resolver: proyecta solo los coeficientes de cinco ecuaciones y que la clase calcule el discriminante en la pizarra antes de mirar el resultado.
- De las soluciones a la ecuación: si las soluciones son 2 y −5, la ecuación es (x − 2)(x + 5) = 0. Que cada pareja la desarrolle y la compruebe con la calculadora.
- Buscar la solución doble: fija a = 1 y b = −6 y pide el valor de c que hace Δ = 0. Probando valores de c se ve cómo pasan de dos soluciones a una y a ninguna.
- Un problema de áreas: un rectángulo mide 3 cm más de largo que de ancho y su área es 40 cm². La ecuación x(x + 3) = 40 tiene una solución negativa que hay que descartar: buen momento para hablar de qué soluciones tienen sentido.
La explicación con ejemplos resueltos y más fichas está en el tema de ecuaciones de segundo grado, y el caso de cuarto grado, en el de ecuaciones bicuadradas.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el discriminante?
Es el número Δ = b² − 4ac, lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Si es positivo, la ecuación tiene dos soluciones distintas; si es 0, una sola (doble); si es negativo, ninguna solución real, porque no existe la raíz cuadrada real de un número negativo.
¿Por qué no usa la fórmula en x² − 49 = 0 ni en 2x² − 8x = 0?
Porque son incompletas y tienen un camino más corto. Si falta el término en x, se despeja x² y se hace la raíz (x = ±7). Si falta el número, se saca factor común: 2x(x − 4) = 0, y cada factor da una solución. Con la fórmula también salen, pero con más cuentas.
¿Qué hace si el coeficiente de x² es negativo?
Multiplica la ecuación por −1 (o la divide entre un número negativo si además se puede simplificar) para que a quede positivo. Las soluciones no cambian, y es más difícil equivocarse con la fórmula.
¿Y si las soluciones no son exactas?
Cuando el discriminante no es un cuadrado perfecto, las soluciones llevan una raíz. La calculadora la simplifica, por ejemplo √8 = 2√2, y da también su valor aproximado con dos decimales. En ese caso comprueba el resultado con la suma y el producto de las soluciones, que deben valer −b/a y c/a.
¿Qué significa «solución doble»?
Que las dos soluciones de la fórmula coinciden porque el discriminante vale 0. Pasa cuando el primer miembro es un cuadrado perfecto: x² − 6x + 9 = (x − 3)², y la única solución es x = 3.
¿En México se llama igual?
Sí: el programa de la SEP la llama fórmula general, y los materiales de Telesecundaria hablan de discriminante, como en España. A la fórmula general también se le llama, de forma coloquial, «la chicharronera». Los coeficientes a, b y c y los pasos son los mismos.
¿Puedo escribir la ecuación sin ordenarla?
Sí. Pulsa «Escribir la ecuación» y escríbela como la tengas, con paréntesis o con fracciones, por ejemplo (x + 2)² = 2x + 7. La calculadora la ordena antes de aplicar la fórmula y te enseña cómo.
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Fichas de ecuaciones de segundo grado con soluciones
Incompletas, completas con la fórmula general (con discriminante positivo, cero o negativo), ecuaciones que hay que ordenar antes y productos igualados a cero. Cada ficha es distinta y su solucionario lleva los pasos. En A4 o Carta, PDF o Word.
Paso 1: Elige un punto de partida
Paso 2: Personaliza
Paso 3: Revisa y descarga
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