Ecuaciones de segundo grado: fórmula, discriminante e incompletas
Tienen la forma ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0. Las completas se resuelven con la fórmula general; las incompletas, con factor común o despejando x².
La forma general y la fórmula
Antes de resolver, ordena la ecuación: todos los términos en un miembro y 0 en el otro, de mayor a menor grado. Así lees los coeficientes a (el de x²), b (el de x) y c (el número suelto), cada uno con su signo.
Con ellos se aplica la fórmula x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a): todo el numerador se divide entre 2a. El símbolo ± indica que salen dos cuentas, una sumando la raíz y otra restándola. Para x² − 5x + 6 = 0, a = 1, b = −5 y c = 6: la raíz es √(25 − 24) = 1, y las soluciones son (5 + 1)/2 = 3 y (5 − 1)/2 = 2.
El discriminante: cuántas soluciones hay
Lo que va dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, se llama discriminante y te dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación sin terminar de resolverla:
- Si Δ > 0, hay dos soluciones distintas.
- Si Δ = 0, hay una solución doble: x = −b/(2a).
- Si Δ < 0, no hay solución real, porque ningún número real al cuadrado da negativo.
Las incompletas, sin fórmula
Si falta c, como en 2x² − 8x = 0, saca factor común: 2x(x − 4) = 0. Un producto vale cero si lo vale alguno de sus factores, así que x = 0 o x = 4. Si falta b, como en x² − 49 = 0, despeja: x² = 49 y x = ±7. No olvides la solución negativa.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Resuelve 2x² − 5x − 3 = 0
Es completa. Los coeficientes son a = 2, b = −5 y c = −3.
Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:
Δ = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49
Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, x = (−b ± √Δ)/(2a):
x = (5 ± √49)/(2 · 2) = (5 ± 7)/4
x₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3
x₂ = (5 − 7)/4 = −2/4 = −1/2
Comprobación: sustituimos x = 3 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
2 · 3² − 5 · 3 − 3 = 18 − 15 − 3 = 0
Comprobación: sustituimos x = −1/2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
2 · (−1/2)² − 5 · (−1/2) − 3 = 1/2 + 5/2 − 3 = 0
Solución x₁ = 3; x₂ = −1/2
Ejemplo 2: Resuelve 4x² − 9 = 0
Es incompleta (no tiene término en x): despejamos x².
4x² = 9 ⇒ x² = 9/4
Hay dos números cuyo cuadrado es 9/4: uno positivo y su opuesto.
x = ±√(9/4) = ±3/2
Comprobación: sustituimos x = 3/2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
4 · (3/2)² − 9 = 9 − 9 = 0
Comprobación: sustituimos x = −3/2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
4 · (−3/2)² − 9 = 9 − 9 = 0
Solución x₁ = 3/2; x₂ = −3/2
Ejemplo 3: Resuelve x(x + 4) = 2x + 15
Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva).
x² + 4x = 2x + 15
Pasamos todos los términos al primer miembro (cambian de signo al pasar).
x² + 4x − 2x − 15 = 0
Reducimos los términos semejantes y los ordenamos de mayor a menor grado.
x² + 2x − 15 = 0
Es completa. Los coeficientes son a = 1, b = 2 y c = −15.
Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:
Δ = 2² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64
Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, x = (−b ± √Δ)/(2a):
x = (−2 ± √64)/(2 · 1) = (−2 ± 8)/2
x₁ = (−2 + 8)/2 = 6/2 = 3
x₂ = (−2 − 8)/2 = −10/2 = −5
Comprobación: sustituimos x = 3 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 21.
3 · (3 + 4) = 3 · 7 = 21
2 · 3 + 15 = 6 + 15 = 21
Comprobación: sustituimos x = −5 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 5.
(−5) · (−5 + 4) = (−5) · (−1) = 5
2 · (−5) + 15 = −10 + 15 = 5
Solución x₁ = 3; x₂ = −5
Errores frecuentes
- Tomar mal el signo de b: en x² − 5x + 6 = 0, b vale −5 y −b vale 5. Escribe los coeficientes con su signo antes de sustituir.
- Dividir entre x en una incompleta: de 3x² = 12x no sale solo x = 4. Al sacar factor común, 3x(x − 4) = 0, aparece también x = 0.
- Quedarse solo con la raíz positiva: x² = 25 tiene dos soluciones, x = 5 y x = −5.
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En qué cursos se veEn qué contenidos del programa se ve
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Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO, en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de búsqueda de soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
- Igualdad y desigualdad: Relaciones lineales y cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana o matemáticamente relevantes: expresión mediante álgebra simbólica.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas A · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y no lineales sencillas en situaciones de la vida cotidiana.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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