Ecuaciones lineales y cuadráticas en secundaria
Resolver ecuaciones con las propiedades de la igualdad y usarlas para resolver problemas: en 1.º, ecuaciones lineales y problemas de porcentajes; en 2.º, desigualdades y sistemas de dos ecuaciones; en 3.º, ecuaciones cuadráticas por factorización y con la fórmula general.
Qué dice el programa
Contenido 6 de Matemáticas
Ecuaciones lineales y cuadráticas.
1.er grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Resuelve ecuaciones de la forma Ax=B, Ax+B=C, Ax+B=Cx+D con el uso de las propiedades de la igualdad.
- Modela y resuelve problemas cuyo planteamiento es una ecuación lineal.
- Resuelve problemas de porcentajes en diversas situaciones.
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2.º grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Resuelve desigualdades con expresiones algebraicas.
- Modela y soluciona sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por algún método para dar respuesta a un problema.
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3.er grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Resuelve ecuaciones de la forma Ax²+Bx+C=0 por factorización y fórmula general.
- Resuelve problemas cuyo planteamiento es una ecuación cuadrática.
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Fuente: anexo del Acuerdo 08/08/23 (Diario Oficial de la Federación, 15 de agosto de 2023), según la edición de la SEP del Programa Sintético de la Fase 6 (2024), pág. 59 del PDF. Se reproduce sin cambios: es texto oficial publicado en el DOF (Ley Federal del Derecho de Autor, art. 14, fracc. VIII). Lo demás de esta página es de Aulapedia. La edición SEP 2025 solo cambia detalles de edición (guiones, puntuación o cortes de párrafo); aquí se conserva el texto de 2024. Edición 2025 cotejada el 2 de octubre de 2026. Última comprobación de los enlaces: 11 de octubre de 2026.
Qué es y por qué importa
Las ecuaciones atraviesan los tres grados de secundaria. En 1.º, el PDA nombra tres formas concretas: Ax = B, Ax + B = C y Ax + B = Cx + D, que se resuelven con las propiedades de la igualdad (lo que se hace en un lado se hace en el otro). Le sigue un PDA de modelación: plantear la ecuación de un problema y resolverlo, y otro de porcentajes en situaciones diversas, que encaja aquí porque muchos se resuelven con una ecuación como 0.3x = 45.
En 2.º llegan las desigualdades con expresiones algebraicas y los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, siempre para responder a un problema. En 3.º, las ecuaciones cuadráticas de la forma Ax² + Bx + C = 0, por factorización y con la fórmula general, y los problemas que llevan a ellas.
La ficha de esta página es de 1.er grado. Para 2.º y 3.º, los temas enlazados tienen resolvedores paso a paso y generadores de fichas con solucionario.
Para el docente: cómo explicarlo
Las propiedades de la igualdad
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si se suma, se resta, se multiplica o se divide lo mismo en los dos lados (salvo dividir entre cero), sigue en equilibrio. Ese es todo el secreto. La regla de «lo que suma pasa restando» es un atajo de esa idea y conviene introducirla después, cuando el grupo ya entienda por qué funciona.
Los tres tipos de 1.º
El PDA nombra tres formas de ecuación; cada una pide un paso más que la anterior:
- Ax = B: 6x = 42. Se dividen los dos lados entre 6: x = 7.
- Ax + B = C: 3x + 5 = 26. Se resta 5 (3x = 21) y se divide entre 3: x = 7.
- Ax + B = Cx + D: 5x − 4 = 2x + 11. Se agrupan las x en un lado y los números en el otro (3x = 15) y se divide: x = 5.
- Comprobar siempre: se sustituye la solución en la ecuación original. Con x = 5, 5 × 5 − 4 = 21 y 2 × 5 + 11 = 21.
Problemas y porcentajes
Para modelar un problema se elige qué representa la letra, se escribe la ecuación con los datos y, al final, se responde con una frase. «Si el 30% de un número es 45» se traduce como 0.3x = 45, de donde x = 150. «Un celular con un descuento del 20% cuesta 3,500 pesos» se traduce como 0.8x = 3500, y el precio original es 4,375 pesos.
2.º y 3.º: desigualdades, sistemas y cuadráticas
Una desigualdad se resuelve casi como una ecuación: 2x + 3 < 11 da x < 4, con una diferencia importante, que al multiplicar o dividir entre un número negativo se invierte el sentido de la desigualdad. Un sistema de dos ecuaciones se resuelve por sustitución, igualación o suma y resta, y su solución es un par de valores que cumple las dos.
Una ecuación cuadrática como x² − 5x + 6 = 0 se puede factorizar: (x − 2)(x − 3) = 0, de donde x = 2 o x = 3. Cuando no se ve la factorización, se usa la fórmula general. Muchas tienen dos soluciones, y en los problemas hay que decidir cuál tiene sentido (una longitud no puede ser negativa).
Cómo llevarlo al salón
Empieza con una balanza real o dibujada y bolsas con un número desconocido de canicas. Pide que el grupo explique cada paso con palabras («quito 5 de cada lado») antes de escribirlo. Para los problemas, insiste en escribir qué representa x y en responder la pregunta con unidades; la ecuación es una herramienta, no la respuesta.
Ejemplos para el salón
Tres números seguidos
La suma de tres números consecutivos es 96. Con x para el menor: x + (x + 1) + (x + 2) = 96, 3x + 3 = 96, x = 31. Los números son 31, 32 y 33, y la comprobación es sumarlos.
El precio antes del descuento
Unos tenis cuestan 960 pesos con un descuento del 20%. ¿Cuánto costaban? Se paga el 80%: 0.8x = 960, x = 1,200 pesos. Buen momento para mostrar que restar el 20% de 960 no da el precio original.
El jardín cuadrado (3.º)
Un jardín cuadrado tiene 81 m² y se le añade un pasillo de 1 m alrededor. ¿Qué lado tiene el jardín con pasillo? x² = 81 da x = 9 (la solución −9 no tiene sentido) y el lado con pasillo es 11 m.
Errores frecuentes e ideas previas
- Cambiar de lado un término sin cambiarle el signo: en 3x + 5 = 26, el 5 pasa restando.
- Dividir solo una parte del lado: en 2x + 6 = 10, dividir entre 2 da x + 3 = 5, no x + 6 = 5.
- No comprobar la solución en la ecuación original.
- Calcular el precio original sumando el porcentaje al precio final: si 960 pesos son el 80%, el original es 960 ÷ 0.8, no 960 + 20% de 960.
Ideas de proyecto: comunitario, escolar y de aula
Propuestas propias para trabajar este contenido por proyectos, con una metodología de las que sugiere la SEP para los campos formativos. Adáptalas a tu grupo y a tu comunidad: no son un formato oficial.
Proyecto comunitario
Las tarifas de la comunidad
¿Qué tarifa de transporte, de agua o de telefonía conviene más a cada familia?
El grupo reúne tarifas reales con una parte fija y otra variable, las escribe como expresiones y plantea ecuaciones para saber a partir de qué consumo conviene cada una.
Cómo se hace
- Recoger dos o tres tarifas reales de un mismo servicio.
- Escribir cada tarifa como expresión algebraica.
- Plantear y resolver la ecuación del punto en que cuestan lo mismo.
- Preparar una guía sencilla para las familias.
- Producto
- Guía para las familias con las tarifas comparadas.
- Metodología
- Aprendizaje basado en proyectos comunitarios
- Ejes articuladores
- Pensamiento crítico, Inclusión
- PDA que trabaja
- PDA 2 de 1.er grado (ver en el programa)
Proyecto de aula
Detectives de descuentos
¿Los descuentos que anuncian las tiendas son lo que parecen?
El grupo analiza anuncios de descuentos, calcula precios originales y finales con ecuaciones y porcentajes y comprueba si las ofertas son reales.
Cómo se hace
- Recolectar anuncios de folletos o de internet.
- Plantear la ecuación del precio original en cada caso.
- Comparar descuentos sucesivos con un solo descuento.
- Presentar una «lista de trampas» de las ofertas.
- Producto
- Lista de trampas de las ofertas, con sus cálculos.
- Metodología
- Aprendizaje Basado en Problemas (ABP)
- Ejes articuladores
- Pensamiento crítico
- PDA que trabaja
- PDA 3 de 1.er grado (ver en el programa)
Ficha de trabajo con solucionario
10 ejercicios que se corrigen solos y 2 tareas para pensar y escribir, con las respuestas en las últimas hojas. PDF en A4 o Carta y Word para editar. «Generar otra versión» cambia el orden de las opciones: sirve para tener dos versiones del mismo examen.
Paso 1: Personaliza
Más opciones (incluir la parte 2 (tareas abiertas), título de la hoja)
Paso 2: Revisa y descarga
Más acciones (imprimir, proyectar, enlace, guardar, PNG)
Para incluir la página visible en una presentación o compartirla como imagen.
Practicar en pantalla
Los mismos ejercicios de la parte 1 de la ficha, en el mismo orden que la vista previa. Comprueba cada respuesta y verás al momento si es correcta y por qué. Con «Pantalla completa», para la pizarra digital. Sin registro y sin datos del alumnado.
Ficha de trabajo: Ecuaciones lineales y cuadráticas
Lee con atención cada ejercicio y responde: elige, ordena, une, completa o clasifica según se pida.
0 de 10 respondidas
Se corrige en este dispositivo: las respuestas no salen de tu navegador.
Parte 2: para pensar y escribir
Estas tareas no se corrigen solas: se hacen en el cuaderno o en la ficha impresa. Al terminar, compara con la respuesta orientativa.
Plantea y resuelve: la suma de tres números consecutivos es 96. ¿Cuáles son?
Ver la respuesta orientativa
x + (x + 1) + (x + 2) = 96, 3x + 3 = 96, 3x = 93, x = 31. Los números son 31, 32 y 33; se comprueba sumándolos.
Explica con una balanza por qué en 3x + 5 = 20 se puede quitar 5 de los dos lados.
Ver la respuesta orientativa
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si se quita lo mismo de los dos platos, sigue equilibrada. Queda 3x = 15, y al repartir en tres partes iguales, x = 5.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el PDA de porcentajes está en el contenido de ecuaciones?
El programa no lo explica, pero encaja: muchos problemas de porcentajes se resuelven planteando una ecuación (el 30% de un número es 45: 0.3x = 45), sobre todo los de hallar el total o el precio original. Es una buena forma de dar sentido a las ecuaciones desde el principio.
¿Enseño primero la regla de «pasar al otro lado»?
Mejor después. Si el grupo empieza con la balanza y las propiedades de la igualdad, la regla se entiende como un atajo y se cometen menos errores de signo.
¿En 3.º se usa siempre la fórmula general?
El PDA menciona factorización y fórmula general. Conviene que el grupo intente factorizar primero y use la fórmula cuando no vea cómo hacerlo; las dos llevan a las mismas soluciones.
También en Aulapedia
- Balanza de ecuacionesPara entender las propiedades de la igualdad con una balanza interactiva.
- Ecuaciones de primer gradoEjemplos resueltos y generador de fichas con solucionario.
- PorcentajesProblemas de porcentajes resueltos y fichas para practicar.
- Sistemas de ecuacionesPara 2.º: sustitución, igualación y suma y resta (reducción).
- Desigualdades (inecuaciones)Para 2.º: resolución y representación en la recta.
- Ecuaciones de segundo gradoPara 3.º: factorización y fórmula general paso a paso.
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