Inecuaciones de primer grado: resolución e intervalos

Ejemplos resueltos paso a paso

1. 1

   Ejemplo 1: Resuelve 3x​−4​≤x​+63x − 4 ≤ x + 6

   1. Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).

      3x​−x​≤6​+43x − x ≤ 6 + 4

   2. Reducimos los términos semejantes de cada miembro.

      2x​≤102x ≤ 10

   3. Dividimos los dos miembros entre 2, que es positivo: la desigualdad no cambia.

      x​≤102​=5x ≤ 10/2 = 5

   4. La solución son todos los números menores o iguales que 5: una semirrecta. El 5 sí entra (corchete y punto relleno).

      x​≤5 ​⇔(−∞, ​5]x ≤ 5 ⇔ (−∞, 5]

   5. Comprobación con x = 0, que está en la solución: tiene que cumplirse, y se cumple.

      3​·0​−4​≤0​+6​→−4​≤6, cierto3 · 0 − 4 ≤ 0 + 6 → −4 ≤ 6, cierto

   6. Comprobación con x = 6, que no está en la solución: no tiene que cumplirse, y no se cumple.

      3​·6​−4​≤6​+6​→14​≤12, falso3 · 6 − 4 ≤ 6 + 6 → 14 ≤ 12, falso

   Solución x​≤5; ​(−∞, ​5]x ≤ 5; (−∞, 5]

2. 2

   Ejemplo 2: Resuelve 2(1−x)​>x​−72(1 − x) > x − 7

   1. Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva).

      2​−2x​>x​−72 − 2x > x − 7

   2. Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).

      −2x​−x​>−7​−2−2x − x > −7 − 2

   3. Reducimos los términos semejantes de cada miembro.

      −3x​>−9−3x > −9

   4. Dividimos los dos miembros entre −3. Como es negativo, la desigualdad cambia de sentido: > pasa a ser <.

      x​<−9−3​=3x < −9/(−3) = 3

   5. La solución son todos los números menores que 3: una semirrecta. El 3 no entra (paréntesis y punto hueco).

      x​<3 ​⇔(−∞, ​3)x < 3 ⇔ (−∞, 3)

   6. Comprobación con x = 0, que está en la solución: tiene que cumplirse, y se cumple.

      2​·(1−0)​>0​−7​→2​>−7, cierto2 · (1 − 0) > 0 − 7 → 2 > −7, cierto

   7. Comprobación con x = 4, que no está en la solución: no tiene que cumplirse, y no se cumple.

      2​·(1−4)​>4​−7​→−6​>−3, falso2 · (1 − 4) > 4 − 7 → −6 > −3, falso

   Solución x​<3; ​(−∞, ​3)x < 3; (−∞, 3)

3. 3

   Ejemplo 3: Resuelve x²​−x​−6​≤0x² − x − 6 ≤ 0

   1. Buscamos dónde P(x) = x² − x − 6 es negativo o cero. Primero, sus raíces: resolvemos P(x) = 0.

   2. Es completa. Los coeficientes son a = 1, b = −1 y c = −6.

   3. Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:

      Δ​=(−1)²​−4·1·(−6)​=1​+24​=25Δ = (−1)² − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25

   4. Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, x = (−b ± √Δ)/(2a):

      x​=1±√252·1​=1±52x = (1 ± √25)/(2 · 1) = (1 ± 5)/2

   5. x₁​=1+52​=62​=3x₁ = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3

   6. x₂​=1−52​=−42​=−2x₂ = (1 − 5)/2 = −4/2 = −2

   7. Las raíces parten la recta en 3 intervalos. En cada uno, P(x) tiene siempre el mismo signo: lo vemos probando un valor.

      Signo de P(x)​=x²​−x​−6P(x) = x² − x − 6 en cada intervalo

      Intervalo	Probamos	Valor	Signo
      (−∞, ​−2)(−∞, −2)	x​=−3x = −3	P(−3)​=6P(−3) = 6	+ (positivo)
      (−2, ​3)(−2, 3)	x​=0x = 0	P(0)​=−6P(0) = −6	− (negativo)
      (3, ​+∞)(3, +∞)	x​=4x = 4	P(4)​=6P(4) = 6	+ (positivo)

   8. Solución:

      −2​≤x​≤3 ​⇔[−2, ​3]−2 ≤ x ≤ 3 ⇔ [−2, 3]

   9. Comprobación con x = 0, que está en la solución: tiene que cumplirse, y se cumple.

      0²​−0​−6​≤0​→−6​≤0, cierto0² − 0 − 6 ≤ 0 → −6 ≤ 0, cierto

   10. Comprobación con x = −3, que no está en la solución: no tiene que cumplirse, y no se cumple.

       (−3)²​−(−3)​−6​≤0​→6​≤0, falso(−3)² − (−3) − 6 ≤ 0 → 6 ≤ 0, falso

   Solución −2​≤x​≤3; ​[−2, ​3]−2 ≤ x ≤ 3; [−2, 3]