Ecuaciones con fracciones: cómo quitar los denominadores
Se multiplican los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores: las fracciones desaparecen y la ecuación se resuelve como siempre.
La idea: multiplicar por el m.c.m.
Una igualdad sigue siendo cierta si multiplicas sus dos miembros por el mismo número. Si eliges el mínimo común múltiplo de los denominadores, cada fracción se simplifica y se convierte en una expresión entera. Es el mismo m.c.m. que usas para sumar fracciones, pero aquí no se queda debajo: multiplica a toda la ecuación.
Los términos sin denominador también se multiplican. Piensa que 3 es lo mismo que 3/1: si el m.c.m. es 6, ese 3 se convierte en 18.
Paso a paso
- Calcula el m.c.m. de todos los denominadores, también de los que estén en el otro miembro.
- Divide el m.c.m. entre cada denominador y multiplica el resultado por su numerador.
- Si el numerador tiene más de un término, escríbelo entre paréntesis antes de multiplicar.
- Quita los paréntesis, agrupa y despeja como en cualquier ecuación de primer grado.
- Comprueba la solución en la ecuación original, operando con fracciones.
El signo menos delante de una fracción
Es el punto donde más se falla. La raya de fracción hace de paréntesis: el menos de delante afecta a todo el numerador. Por ejemplo, −(x − 2)/3 multiplicado por 6 da −2(x − 2), que es −2x + 4. Si escribes −2x − 4, la solución saldrá mal aunque el resto esté perfecto.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Resuelve (x + 3)/4 − (x − 1)/6 = 2
Quitamos los denominadores: el m.c.m. de 4 y 6 es 12. Multiplicamos los dos miembros por 12: cada denominador divide al m.c.m. y el cociente multiplica a su numerador.
3(x + 3) − 2(x − 1) = 24
Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva). Un signo menos delante cambia el signo de todos los términos de dentro.
3x + 9 − 2x + 2 = 24
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
3x − 2x = 24 − 9 − 2
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
x = 13
Comprobación: sustituimos x = 13 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 2.
(13 + 3)/4 − (13 − 1)/6 = 16/4 − 12/6 = 4 − 2 = 2
Solución x = 13
Ejemplo 2: Resuelve x/2 − (x − 4)/5 = 3
Quitamos los denominadores: el m.c.m. de 2 y 5 es 10. Multiplicamos los dos miembros por 10: cada denominador divide al m.c.m. y el cociente multiplica a su numerador.
5x − 2(x − 4) = 30
Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva). Un signo menos delante cambia el signo de todos los términos de dentro.
5x − 2x + 8 = 30
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
5x − 2x = 30 − 8
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
3x = 22
Despejamos x: el 3 que multiplica pasa dividiendo al otro miembro.
x = 22/3
Comprobación: sustituimos x = 22/3 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 3.
(22/3)/2 − (22/3 − 4)/5 = (22/3)/2 − (10/3)/5 = 11/3 − 2/3 = 3
Solución x = 22/3
Ejemplo 3: Resuelve −(2x − 3)/4 + x = 3/2
Quitamos los denominadores: el m.c.m. de 2 y 4 es 4. Multiplicamos los dos miembros por 4: cada denominador divide al m.c.m. y el cociente multiplica a su numerador.
−(2x − 3) + 4x = 6
Quitamos los paréntesis. Un signo menos delante cambia el signo de todos los términos de dentro.
−2x + 3 + 4x = 6
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
−2x + 4x = 6 − 3
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
2x = 3
Despejamos x: el 2 que multiplica pasa dividiendo al otro miembro.
x = 3/2
Comprobación: sustituimos x = 3/2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 3/2.
−(2 · 3/2 − 3)/4 + 3/2 = −0/4 + 3/2 = 0 + 3/2 = 3/2
Solución x = 3/2
Errores frecuentes
- Multiplicar solo las fracciones y olvidar los términos enteros: en x/2 + 3 = x, por 2 queda x + 6 = 2x, no x + 3 = 2x.
- No poner paréntesis a un numerador con dos términos: (x + 1)/3 multiplicado por 6 es 2(x + 1) = 2x + 2, no 2x + 1.
- Cambiar solo el primer signo cuando hay un menos delante de la fracción: −(2x − 5)/4 multiplicado por 4 es −2x + 5.
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En qué cursos se ve
La Orden EFP/754/2022 no nombra las ecuaciones con fracciones: forman parte de las «ecuaciones lineales», que aparecen de 1.º a 4.º. En Aulapedia se sitúan en 2.º y 3.º, cuando ya se resuelve con soltura la ecuación sencilla y se opera con fracciones. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de búsqueda de soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
- Igualdad y desigualdad: Equivalencia de expresiones algebraicas en la resolución de problemas basados en relaciones lineales y cuadráticas.
A. Sentido numérico
- Sentido de las operaciones: Operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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