Ecuaciones bicuadradas: el cambio de variable paso a paso
Tienen la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Con el cambio x² = t pasan a ser de segundo grado, y cada solución positiva de t da dos valores de x.
Cómo se reconoce
Es de cuarto grado, pero le faltan los términos de grado impar: no hay x³ ni x. Por eso x⁴ se puede escribir como (x²)², y la ecuación entera depende de x². Si aparece un x³ o una x suelta, ya no es bicuadrada y este método no sirve.
Los tres pasos
Se resuelve siempre en el mismo orden:
- Cambio de variable: llama t a x², de modo que x⁴ = t². La ecuación queda at² + bt + c = 0.
- Resuelve en t con la fórmula de segundo grado o con los atajos de las incompletas.
- Deshaz el cambio: para cada valor de t, x² = t y x = ±√t.
Cuántas soluciones puede tener
Por ejemplo, en x⁴ − 13x² + 36 = 0 el cambio da t² − 13t + 36 = 0, con soluciones t = 9 y t = 4. De x² = 9 salen x = 3 y x = −3; de x² = 4, x = 2 y x = −2. Son cuatro soluciones.
Al deshacer el cambio hay que mirar el signo de t. Si t es positivo, da dos soluciones opuestas; si t = 0, da x = 0; si t es negativo, no da ninguna, porque x² no puede ser negativo. Por eso una bicuadrada tiene como mucho cuatro soluciones reales, y puede tener tres, dos, una o ninguna.
Comprobar al final es rápido: como solo hay potencias pares, x y −x dan el mismo resultado, así que basta con sustituir los valores positivos.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Resuelve x⁴ − 26x² + 25 = 0
Es bicuadrada: la x solo aparece con exponentes pares (x⁴, x² y un número). Hacemos el cambio x² = t, de modo que x⁴ = t²:
t² − 26t + 25 = 0
Es completa. Los coeficientes son a = 1, b = −26 y c = 25.
Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:
Δ = (−26)² − 4 · 1 · 25 = 676 − 100 = 576
Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, t = (−b ± √Δ)/(2a):
t = (26 ± √576)/(2 · 1) = (26 ± 24)/2
t₁ = (26 + 24)/2 = 50/2 = 25
t₂ = (26 − 24)/2 = 2/2 = 1
Deshacemos el cambio: para cada valor de t, x² = t y x = ±√t.
t = 25 ⇒ x² = 25 ⇒ x = ±5
t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1
Para comprobar basta con los valores positivos: como solo hay potencias pares, x y −x dan el mismo resultado.
Comprobación: sustituimos x = 1 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
1⁴ − 26 · 1² + 25 = 1 − 26 + 25 = 0
Comprobación: sustituimos x = 5 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
5⁴ − 26 · 5² + 25 = 625 − 650 + 25 = 0
Solución x₁ = −5; x₂ = −1; x₃ = 1; x₄ = 5
Ejemplo 2: Resuelve x⁴ − 3x² − 4 = 0
Es bicuadrada: la x solo aparece con exponentes pares (x⁴, x² y un número). Hacemos el cambio x² = t, de modo que x⁴ = t²:
t² − 3t − 4 = 0
Es completa. Los coeficientes son a = 1, b = −3 y c = −4.
Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:
Δ = (−3)² − 4 · 1 · (−4) = 9 + 16 = 25
Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, t = (−b ± √Δ)/(2a):
t = (3 ± √25)/(2 · 1) = (3 ± 5)/2
t₁ = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4
t₂ = (3 − 5)/2 = −2/2 = −1
Deshacemos el cambio: para cada valor de t, x² = t y x = ±√t.
t = 4 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
t = −1: x² = −1 no tiene solución real, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
Para comprobar basta con los valores positivos: como solo hay potencias pares, x y −x dan el mismo resultado.
Comprobación: sustituimos x = 2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
2⁴ − 3 · 2² − 4 = 16 − 12 − 4 = 0
Solución x₁ = −2; x₂ = 2
Ejemplo 3: Resuelve 4x⁴ − 17x² + 4 = 0
Es bicuadrada: la x solo aparece con exponentes pares (x⁴, x² y un número). Hacemos el cambio x² = t, de modo que x⁴ = t²:
4t² − 17t + 4 = 0
Es completa. Los coeficientes son a = 4, b = −17 y c = 4.
Calculamos el discriminante, Δ = b² − 4ac:
Δ = (−17)² − 4 · 4 · 4 = 289 − 64 = 225
Δ > 0: hay dos soluciones distintas. Aplicamos la fórmula general, t = (−b ± √Δ)/(2a):
t = (17 ± √225)/(2 · 4) = (17 ± 15)/8
t₁ = (17 + 15)/8 = 32/8 = 4
t₂ = (17 − 15)/8 = 2/8 = 1/4
Deshacemos el cambio: para cada valor de t, x² = t y x = ±√t.
t = 4 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
t = 1/4 ⇒ x² = 1/4 ⇒ x = ±1/2
Para comprobar basta con los valores positivos: como solo hay potencias pares, x y −x dan el mismo resultado.
Comprobación: sustituimos x = 1/2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
4 · (1/2)⁴ − 17 · (1/2)² + 4 = 1/4 − 17/4 + 4 = 0
Comprobación: sustituimos x = 2 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 0.
4 · 2⁴ − 17 · 2² + 4 = 64 − 68 + 4 = 0
Solución x₁ = −2; x₂ = −1/2; x₃ = 1/2; x₄ = 2
Errores frecuentes
- Dar como resultado los valores de t: la incógnita es x, así que hay que deshacer el cambio.
- Quedarse solo con la raíz positiva: de x² = 9 salen x = 3 y x = −3.
- Calcular la raíz de un t negativo: si t = −4, x² = −4 no tiene solución real y ese valor se descarta.
Ponte a prueba
Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.
Ejercicios de ecuaciones bicuadradas para imprimir
Elige el nivel y el número de ejercicios: cada versión sale distinta y, con «Soluciones» marcado, lleva el solucionario en las últimas páginas. PDF en A4 o Carta y Word para editar.
Paso 1: Personaliza
Más opciones (pasos en el solucionario, notación, título de la ficha)
Paso 2: Revisa y descarga
Más acciones (imprimir, proyectar, enlace, guardar, PNG)
Para incluir la página visible en una presentación o compartirla como imagen.
En qué cursos se ve
La Orden EFP/754/2022 no nombra las ecuaciones bicuadradas. En Aulapedia se sitúan en 4.º porque encajan en las ecuaciones «no lineales sencillas» de Matemáticas B y se resuelven con la ecuación de segundo grado. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y no lineales sencillas.
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y no lineales sencillas en situaciones de la vida cotidiana.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
¿Has visto un error?AvísanosRegistro de correcciones
Sigue con las Matemáticas
Ecuaciones de segundo grado
2.º a 4.º de ESOSecundaria en México
Tienen la forma ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0. Las completas se resuelven con la fórmula general; las incompletas, con factor común o despejando x².
Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Factorización de polinomios
4.º de ESO
Escribir un polinomio como producto de otros de menor grado, igual que 12 = 2² · 3, con el factor común, las identidades notables y la regla de Ruffini.
Herramienta: Regla de Ruffini
Radicales
4.º de ESO
Expresiones con raíces, como √12 o ∛5. Si la raíz no es exacta, no se pasa a decimales: se simplifica, se extraen factores y se opera con ellas.
Calculadora de radicales
Ecuaciones de primer grado
1.º a 4.º de ESOSecundaria en México
Una igualdad con una incógnita que solo aparece elevada a 1. Se resuelve juntando las x en un miembro y los números en el otro, y despejando la x.
Calculadora de ecuaciones