Ecuaciones de primer grado: cómo se resuelven paso a paso
Una igualdad con una incógnita que solo aparece elevada a 1. Se resuelve juntando las x en un miembro y los números en el otro, y despejando la x.
Qué es una ecuación de primer grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que solo se cumple para algunos valores de la letra. Lo que queda a la izquierda del signo igual es el primer miembro; lo de la derecha, el segundo miembro. Cada sumando es un término, y la letra, casi siempre x, es la incógnita.
Es de primer grado cuando, una vez quitados los paréntesis y reducidos los términos semejantes, la incógnita solo tiene exponente 1: no queda x², ni x en un denominador, ni raíces de x. Por ejemplo, 3x + 5 = 2x − 1 es de primer grado, y x² = 9 no lo es. También es de primer grado x(x + 1) = x² + 3: al quitar el paréntesis, los x² se anulan y queda x = 3.
Los pasos para resolverla
El objetivo es dejar la x sola en un miembro. Para no perderte, sigue siempre el mismo orden:
- Quita los paréntesis multiplicando lo que hay delante por cada término de dentro.
- Transpón: los términos con x, a un miembro, y los números, al otro. Lo que suma pasa restando, y lo que resta pasa sumando.
- Reduce los términos semejantes de cada miembro: 4x − 2x = 2x y 6 + 8 = 14.
- Despeja: si queda 4x = 12, el 4 que multiplica pasa dividiendo y x = 12 : 4 = 3.
- Comprueba sustituyendo la solución en la ecuación de partida: los dos miembros deben dar lo mismo.
Cuando las x desaparecen
A veces, al reducir, las x se anulan. Si queda algo falso, como 0 = 7, la ecuación no tiene solución. Si queda algo siempre cierto, como 0 = 0, cualquier número la cumple: es una identidad. En los dos casos el trabajo está bien hecho; solo hay que saber leer el final.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Resuelve 4(x − 3) − 2(x + 1) = 6
Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva). Un signo menos delante cambia el signo de todos los términos de dentro.
4x − 12 − 2x − 2 = 6
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
4x − 2x = 6 + 12 + 2
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
2x = 20
Despejamos x: el 2 que multiplica pasa dividiendo al otro miembro.
x = 20/2 = 10
Comprobación: sustituimos x = 10 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 6.
4 · (10 − 3) − 2 · (10 + 1) = 4 · 7 − 2 · 11 = 28 − 22 = 6
Solución x = 10
Ejemplo 2: Resuelve 3 − 2[x − (1 − x)] = 5
Quitamos primero los paréntesis de dentro. Un signo menos delante cambia el signo de todos los términos de dentro.
3 − 2[x − 1 + x] = 5
Quitamos el corchete multiplicando lo de fuera por cada término de dentro. Un signo menos delante cambia el signo de todos los términos de dentro.
3 − 2x + 2 − 2x = 5
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
−2x − 2x = 5 − 3 − 2
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
−4x = 0
Despejamos x: 0 dividido entre −4 es 0.
x = 0
Comprobación: sustituimos x = 0 en la ecuación de partida y los dos miembros dan 5.
3 − 2 · [0 − (1 − 0)] = 3 − 2 · (−1) = 3 + 2 = 5
Solución x = 0
Ejemplo 3: Resuelve 2(x + 1) = 2x + 5
Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva).
2x + 2 = 2x + 5
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
2x − 2x = 5 − 2
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
0x = 3
Queda 0x = 3: ningún número multiplicado por 0 da 3, así que la ecuación no tiene solución.
Solución No tiene solución
Errores frecuentes
- Cambiar de signo solo el primer término al quitar un paréntesis con un menos delante: −(x − 3) es −x + 3, no −x − 3.
- Multiplicar el número de fuera solo por el primer término del paréntesis: 3(x + 2) es 3x + 6, no 3x + 2.
- Pasar restando un número que multiplica: en 5x = 20 el 5 pasa dividiendo y x = 4; restando saldría x = 15, que no cumple la ecuación.
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En qué cursos se veEn qué contenidos del programa se ve
En México, estos contenidos de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relacionan con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.
- Matemáticas de 1.º de ESO
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Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 1.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de búsqueda de soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
- Modelo matemático: Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico.
- Igualdad y desigualdad: Equivalencia de expresiones algebraicas en la resolución de problemas basados en relaciones lineales y cuadráticas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas A · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y no lineales sencillas en situaciones de la vida cotidiana.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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