Sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción
Se busca el par (x, y) que cumple dos ecuaciones a la vez, eliminando una incógnita por sustitución, igualación o reducción.
Los tres métodos
Los tres llevan al mismo resultado; cambia la forma de eliminar la primera incógnita. Elige el que menos cuentas te dé:
- Sustitución: despeja una incógnita en una ecuación y sustitúyela en la otra. Va bien cuando alguna letra tiene coeficiente 1 o −1.
- Igualación: despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones e iguala las expresiones. Es cómodo si ya vienen despejadas.
- Reducción: multiplica las ecuaciones por los números adecuados para que una incógnita tenga coeficientes opuestos, y súmalas. Es el más rápido cuando ninguna letra está sola.
Un ejemplo por reducción
En el sistema 2x + 3y = 12 y 3x − y = 7, multiplica la segunda por 3: 9x − 3y = 21. Al sumarla con la primera, las y se van y queda 11x = 33, así que x = 3. Sustituyendo en la segunda, 9 − y = 7, de donde y = 2. Comprueba en las dos: 6 + 6 = 12 y 9 − 2 = 7.
Tipos de sistemas
Cada ecuación lineal es una recta, y resolver el sistema es buscar dónde se cortan. Según cómo sean las rectas, el sistema es:
- Compatible determinado (SCD): las rectas se cortan en un punto y hay una única solución.
- Compatible indeterminado (SCI): las dos ecuaciones son la misma recta y hay infinitas soluciones. Al resolver aparece 0 = 0.
- Incompatible (SI): las rectas son paralelas y no hay solución. Al resolver aparece algo falso, como 0 = 5.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Resuelve por sustitución el sistema Sistema: x + 2y = 7; 3x − y = 7
Despejamos la x de la primera ecuación, que tiene coeficiente 1.
x = 7 − 2y
Sustituimos esa expresión de x en la segunda ecuación: queda una ecuación con una sola incógnita, la y.
3(7 − 2y) − y = 7
Quitamos los paréntesis: lo de fuera multiplica a cada término de dentro (propiedad distributiva).
21 − 6y − y = 7
Transponemos términos: los que llevan y, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
−6y − y = 7 − 21
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
−7y = −14
Despejamos y: el −7 que multiplica pasa dividiendo al otro miembro.
y = −14/(−7) = 2
Sustituimos y = 2 en la expresión despejada de x.
x = 7 − 2 · 2 = 3
Solución: x = 3, y = 2. El sistema es compatible determinado: las dos rectas se cortan en el punto (3, 2).
Comprobación: sustituimos x = 3, y = 2 en las ecuaciones de partida y se cumplen todas.
Sistema: 3 + 2 · 2 = 3 + 4 = 7; 3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7
Solución x = 3; y = 2
Ejemplo 2: Resuelve por igualación el sistema Sistema: x = 3y − 1; x = y + 5
Las dos ecuaciones ya tienen la x despejada.
Sistema: x = 3y − 1; x = y + 5
Como las dos expresiones valen lo mismo (las dos son x), las igualamos: queda una ecuación con una sola incógnita, la y.
3y − 1 = y + 5
Transponemos términos: los que llevan y, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
3y − y = 5 + 1
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
2y = 6
Despejamos y: el 2 que multiplica pasa dividiendo al otro miembro.
y = 6/2 = 3
Sustituimos y = 3 en una de las expresiones de x.
x = 3 · 3 − 1 = 8
Solución: x = 8, y = 3. El sistema es compatible determinado: las dos rectas se cortan en el punto (8, 3).
Comprobación: sustituimos x = 8, y = 3 en las ecuaciones de partida y se cumplen todas.
Sistema: 3 · 3 − 1 = 9 − 1 = 8; 3 + 5 = 8
Solución x = 8; y = 3
Ejemplo 3: Resuelve por reducción el sistema Sistema: 3x + 4y = 10; 2x − 3y = 1
Para eliminar la x, sus coeficientes tienen que ser opuestos: multiplicamos la primera por 2 y la segunda por −3.
Sistema: 6x + 8y = 20; −6x + 9y = −3
Sumamos las dos ecuaciones miembro a miembro: la x desaparece.
17y = 17
Despejamos la y.
y = 17/17 = 1
Sustituimos y = 1 en la primera ecuación y despejamos la x.
3x + 4 · 1 = 10
Transponemos términos: los que llevan x, al primer miembro, y los números, al segundo (lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando).
3x = 10 − 4
Reducimos los términos semejantes de cada miembro.
3x = 6
Despejamos x: el 3 que multiplica pasa dividiendo al otro miembro.
x = 6/3 = 2
Solución: x = 2, y = 1. El sistema es compatible determinado: las dos rectas se cortan en el punto (2, 1).
Comprobación: sustituimos x = 2, y = 1 en las ecuaciones de partida y se cumplen todas.
Sistema: 3 · 2 + 4 · 1 = 6 + 4 = 10; 2 · 2 − 3 · 1 = 4 − 3 = 1
Solución x = 2; y = 1
Errores frecuentes
- Dar solo una incógnita: la solución de un sistema es un par, x = 3 e y = 2, no solo x = 3.
- Multiplicar solo un miembro en reducción: si multiplicas una ecuación por 3, se multiplican todos sus términos, también el de la derecha.
- Sustituir en la misma ecuación de la que se ha despejado: siempre sale 0 = 0 y no se avanza. Hay que sustituir en la otra.
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En México, este contenido de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relaciona con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.
Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO, en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de búsqueda de soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
- Modelo matemático: Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico.
- Relaciones y funciones: Relaciones lineales y cuadráticas: identificación y comparación de diferentes modos de representación, tablas, gráficas o expresiones algebraicas, y sus propiedades a partir de ellas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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