Factorización de polinomios: factor común, identidades y Ruffini
Escribir un polinomio como producto de otros de menor grado, igual que 12 = 2² · 3, con el factor común, las identidades notables y la regla de Ruffini.
Raíces y factores
Un número a es raíz de P(x) si P(a) = 0. Cada raíz aporta un factor: si a es raíz, P(x) = (x − a) · C(x). Encontrar raíces y factorizar son la misma tarea vista desde dos lados, y la forma factorizada deja leer de un vistazo las soluciones de P(x) = 0.
El orden que funciona
- Factor común: si todos los términos llevan x o un mismo número, sácalos primero. 2x³ − 8x = 2x(x² − 4).
- Identidades notables: mira si lo que queda es una diferencia de cuadrados o un trinomio cuadrado perfecto. x² − 4 = (x + 2)(x − 2).
- Ruffini: si no, prueba con los divisores del término independiente. Con coeficientes enteros, las raíces enteras, si las hay, están entre ellos.
- Segundo grado: cuando llegues a un factor de grado 2, resuelve la ecuación con la fórmula para encontrar sus raíces.
Un ejemplo completo
Para P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, los candidatos son ±1, ±2, ±3 y ±6. Como P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0, x = 1 es raíz, y al dividir por Ruffini entre x − 1 queda x² − x − 6. Sus raíces son 3 y −2, así que P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).
Algunos factores de grado 2 no se pueden descomponer más, como x² + 1, que no tiene raíces reales: se dejan tal cual.
| Coeficientes | 1 | −2 | −5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| 1 (productos) | 1 | −1 | −6 | |
| Resultados | 1 | −1 | −6 | 0 (resto) |
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Factoriza P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6
Las posibles raíces enteras de x³ − 2x² − 5x + 6 son los divisores del término independiente, 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
x = 1 es raíz porque el resto da 0. Dividimos por Ruffini entre x − 1:
Tabla de Ruffini de la división entre x − 1 Coeficientes 1 −2 −5 6 1 (productos) 1 −1 −6 Resultados 1 −1 −6 0 (resto) Escribimos el factor y seguimos con el cociente (la misma raíz puede repetirse).
P(x) = (x − 1)(x² − x − 6)
Para el factor de segundo grado buscamos sus raíces con la fórmula de la ecuación de segundo grado.
x² − x − 6 = 0
Calculamos el discriminante Δ = b² − 4ac.
Δ = (−1)² − 4 · 1 · (−6) = 25
Δ es positivo: hay dos raíces.
x = (1 ± √25)/(2 · 1) = (1 ± 5)/2
Separamos el signo + y el signo −.
x₁ = 3; x₂ = −2
Factorización:
P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)
Raíces: x = 1; x = 3; x = −2.
Solución P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)
Ejemplo 2: Factoriza P(x) = 2x³ − 3x² − 3x + 2
Las posibles raíces enteras de 2x³ − 3x² − 3x + 2 son los divisores del término independiente, 2: ±1, ±2.
Probamos con el teorema del resto (sustituimos en el polinomio que queda): con x = 1 el resto es −2. No es raíz.
x = −1 es raíz porque el resto da 0. Dividimos por Ruffini entre x + 1:
Tabla de Ruffini de la división entre x + 1 Coeficientes 2 −3 −3 2 −1 (productos) −2 5 −2 Resultados 2 −5 2 0 (resto) Escribimos el factor y seguimos con el cociente (la misma raíz puede repetirse).
P(x) = (x + 1)(2x² − 5x + 2)
Para el factor de segundo grado buscamos sus raíces con la fórmula de la ecuación de segundo grado.
2x² − 5x + 2 = 0
Calculamos el discriminante Δ = b² − 4ac.
Δ = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 9
Δ es positivo: hay dos raíces.
x = (5 ± √9)/(2 · 2) = (5 ± 3)/4
Separamos el signo + y el signo −.
x₁ = 2; x₂ = 1/2
El coeficiente principal, 2, queda multiplicando delante.
Factorización:
P(x) = 2(x + 1)(x − 2)(x − 1/2)
Raíces: x = −1; x = 2; x = 1/2.
Si lo prefieres sin fracciones, metemos el número de delante en los factores con denominador:
P(x) = (x + 1)(x − 2)(2x − 1)
Solución P(x) = 2(x + 1)(x − 2)(x − 1/2)
Ejemplo 3: Factoriza P(x) = x⁴ − 5x² + 4
Las posibles raíces enteras de x⁴ − 5x² + 4 son los divisores del término independiente, 4: ±1, ±2, ±4.
x = 1 es raíz porque el resto da 0. Dividimos por Ruffini entre x − 1:
Tabla de Ruffini de la división entre x − 1 Coeficientes 1 0 −5 0 4 1 (productos) 1 1 −4 −4 Resultados 1 1 −4 −4 0 (resto) Escribimos el factor y seguimos con el cociente (la misma raíz puede repetirse).
P(x) = (x − 1)(x³ + x² − 4x − 4)
Probamos con el teorema del resto (sustituimos en el polinomio que queda): con x = 1 el resto es −6. No es raíz.
x = −1 es raíz porque el resto da 0. Dividimos por Ruffini entre x + 1:
Tabla de Ruffini de la división entre x + 1 Coeficientes 1 1 −4 −4 −1 (productos) −1 0 4 Resultados 1 0 −4 0 (resto) Escribimos el factor y seguimos con el cociente (la misma raíz puede repetirse).
P(x) = (x − 1)(x + 1)(x² − 4)
El factor de segundo grado no tiene término en x: buscamos sus raíces despejando x².
x² − 4 = 0 ⇒ x² = 4
Hacemos la raíz cuadrada con los dos signos.
x = ±√4 = ±2
Separamos el signo + y el signo −.
x₁ = 2; x₂ = −2
Factorización:
P(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)
Raíces: x = 1; x = −1; x = 2; x = −2.
Solución P(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)
Errores frecuentes
- Perder el factor común al final: en 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x + 2)(x − 2), el 3 también forma parte de la factorización.
- Confundir raíz y factor: si la raíz es −2, el factor es x + 2, no x − 2.
- Descomponer x² + 4 como (x + 2)(x − 2): eso da x² − 4. Una suma de cuadrados no tiene raíces reales y se deja como está.
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En qué cursos se ve
La Orden EFP/754/2022 no nombra la factorización de polinomios; en 4.º, Matemáticas B habla de «formas equivalentes de expresiones algebraicas» y de funciones polinómicas. En Aulapedia se sitúa en 4.º, cuando ya se manejan las identidades notables y la regla de Ruffini. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y no lineales sencillas.
- Igualdad y desigualdad: Estrategias de discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y no lineales sencillas en situaciones de la vida cotidiana.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas A · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, y sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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