Regla de Ruffini paso a paso
Divide un polinomio entre x − a y mira cómo se rellena la tabla columna a columna. También calcula el resto sin dividir y busca las raíces para factorizar.
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C(x) = x² + 2x − 3; R = 0Ver los pasos
Escribe las potencias con ^ (3x^3 − 2x + 1) o con superíndices (3x³). Los términos que faltan no hace falta escribirlos: la tabla pone un 0 en su lugar. Admite fracciones (1/2x^2) y decimales (0,5x).
Has escrito: P(x) = x³ − 7x + 6
Resultado
(x³ − 7x + 6) : (x − 2) → C(x) = x² + 2x − 3; R = 0
| Coeficientes | 1 | 0 | −7 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| 2 (productos) | 2 | 4 | −6 | |
| Resultados | 1 | 2 | −3 | 0 (resto) |
Paso a paso
Escribimos los coeficientes del dividendo de mayor a menor grado, con un 0 en el lugar de cada término que falta.
1 0 −7 6
A la izquierda ponemos el número que anula el divisor: si dividimos entre x − 2, ese número es 2.
Bajamos el primer coeficiente: 1.
Multiplicamos 2 · 1, lo escribimos debajo del siguiente coeficiente y sumamos la columna.
2 · 1 = 2; 0 + 2 = 2
2 · 2 = 4; −7 + 4 = −3
Última columna (es el resto):
2 · (−3) = −6; 6 + (−6) = 0
El último número es el resto. Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
C(x) = x² + 2x − 3; R = 0
Comprobación con el teorema del resto: el resto de dividir entre x − 2 es el valor del polinomio en x = 2.
P(2) = 2³ − 7 · 2 + 6 = 8 − 14 + 6 = 0
Ejemplos para probar
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Cómo se divide por Ruffini
- Ordena el polinomio de mayor a menor grado y escribe solo sus coeficientes en una fila. Si falta algún grado (en x³ − 7x + 6 no hay término en x²), pon un 0 en su lugar: es el error más frecuente.
- A la izquierda, escribe el número que anula el divisor: 2 si divides entre x − 2, −1 si divides entre x + 1.
- Baja el primer coeficiente tal cual a la última fila.
- Multiplica y suma: multiplica el número de la izquierda por el que acabas de bajar, escribe el producto debajo del coeficiente siguiente y suma la columna. Repite hasta el final.
- Lee el resultado: el último número es el resto; los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
Para comprobarlo sin repetir la tabla, usa el teorema del resto: sustituye la x por el número de la izquierda en el dividendo y tiene que salir el mismo resto. La calculadora hace esa comprobación al final de cada división.
Con la opción Raíces y factorización, la calculadora saca primero el factor común, prueba los divisores del término independiente con el teorema del resto, divide por Ruffini cada vez que encuentra una raíz y, cuando queda un factor de segundo grado, lo resuelve con la fórmula. Si alguna raíz es una fracción o un número irracional, también lo indica, y si el factor de segundo grado no tiene raíces reales, lo deja sin descomponer.
Ideas para usarla en clase
- Primero en el cuaderno: que cada alumno haga la tabla a mano y la compare con la de la pantalla columna a columna. Así se ve enseguida dónde se olvidó un cero o se equivocó un signo.
- Proyectada: en pantalla completa, la tabla y los pasos se leen desde el fondo del aula. Cambia el divisor y pregunta antes de mirar si el resto será 0.
- Buscar la raíz: con un polinomio de grado 3, reparte los divisores del término independiente entre los grupos y que cada uno pruebe el suyo con el teorema del resto.
- Comprobar al revés: multiplica el cociente por el divisor, suma el resto y comprueba que sale el dividendo. Es el mismo control que hace la calculadora al final de la división larga.
Para los números de la tabla, si hace falta repasar los divisores, tienes la calculadora de divisores y múltiplos, y para los coeficientes fraccionarios, la calculadora de fracciones.
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve la regla de Ruffini?
Para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x − a sin hacer la división larga: solo se trabaja con los coeficientes. Se usa sobre todo para comprobar si un número es raíz de un polinomio y para factorizarlo.
¿Por qué a la izquierda va el número con el signo cambiado?
Porque se escribe el número que hace cero el divisor. Si divides entre x − 3, ese número es 3; si divides entre x + 3, que es x − (−3), es −3. Por eso el signo parece «cambiado».
¿Se puede usar Ruffini para dividir entre 2x − 1?
No directamente, porque la x lleva un coeficiente. Divide primero entre x − 1/2 (el número que anula 2x − 1) y después divide el cociente entre 2. El resto no cambia. La calculadora te lo recuerda si escribes un divisor así.
¿Qué dice el teorema del resto?
Que el resto de dividir P(x) entre x − a es el valor numérico P(a). Si P(a) = 0, la división es exacta, x − a es un factor de P(x) y a es una raíz. En la calculadora, la opción «Teorema del resto» hace la sustitución paso a paso.
¿Cómo se buscan las raíces enteras de un polinomio?
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros están entre los divisores del término independiente. Se prueban con Ruffini (o con el teorema del resto) hasta que el resto da 0, y se sigue con el cociente. Cuando queda un factor de segundo grado, se resuelve con la fórmula.
¿En México se llama igual?
En México y en buena parte de Latinoamérica es más frecuente el nombre de división sintética. Es el mismo procedimiento con la misma tabla.
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