Identidades notables: las tres fórmulas y cómo usarlas
Tres productos que conviene saber de memoria, (a + b)², (a − b)² y (a + b)(a − b), para desarrollar sin multiplicar término a término y para factorizar.
Las tres fórmulas
Conviene aprenderlas también con palabras: el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. En la diferencia solo cambia el signo del término del medio, y una suma por su diferencia da una diferencia de cuadrados, sin término del medio. En símbolos:
- Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b².
- Suma por diferencia: (a + b)(a − b) = a² − b².
De dónde salen
No son reglas mágicas: basta con multiplicar. (a + b)² es (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b², y como ab y ba son iguales, se juntan en 2ab. En la suma por diferencia, los productos cruzados son +ab y −ab, y se anulan. Si un día dudas, multiplica y la recuperas.
También tienen una lectura geométrica: un cuadrado de lado a + b se parte en un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de a por b.
Desarrollar y factorizar
Para desarrollar (3x − 2)², identifica a = 3x y b = 2: (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² − 12x + 4. Al revés, si ves x² − 25, reconoce una diferencia de cuadrados y escribe (x + 5)(x − 5). Este camino de vuelta ahorra mucho trabajo al simplificar fracciones algebraicas y al resolver ecuaciones.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Desarrolla (3x + 2)²
Es el cuadrado de una suma: el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(3x + 2)² = (3x)² + 2 · 3x · 2 + 2²
Calculamos cada término: el cuadrado eleva el coeficiente y multiplica los exponentes por 2; el doble producto multiplica 2 por los dos términos.
9x² + 12x + 4
Resultado ordenado:
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
Solución 9x² + 12x + 4
Ejemplo 2: Desarrolla (2x − 5)²
Es el cuadrado de una diferencia: el cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(2x − 5)² = (2x)² − 2 · 2x · 5 + 5²
Calculamos cada término: el cuadrado eleva el coeficiente y multiplica los exponentes por 2; el doble producto multiplica 2 por los dos términos.
4x² − 20x + 25
Resultado ordenado:
(2x − 5)² = 4x² − 20x + 25
Solución 4x² − 20x + 25
Ejemplo 3: Desarrolla (x + 4)(x − 4)
Es una suma por diferencia (producto de dos binomios conjugados): es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
(x + 4)(x − 4) = x² − 4²
Calculamos los cuadrados: se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes por 2.
x² − 16
Resultado ordenado:
(x + 4)(x − 4) = x² − 16
Solución x² − 16
Errores frecuentes
- Olvidar el doble producto: (x + 3)² = x² + 6x + 9, no x² + 9.
- No elevar el coeficiente al cuadrado: (2x)² = 4x², no 2x². Pon el término entre paréntesis antes de elevar.
- Poner negativo el último término de (a − b)²: en (x − 4)² el 16 es positivo, porque (−4)² = 16.
Ponte a prueba
Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.
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En qué cursos se ve
La Orden EFP/754/2022 no nombra las identidades notables. En Aulapedia se sitúan en 2.º y 3.º, junto a las operaciones con polinomios, porque se usan para desarrollar y simplificar expresiones algebraicas. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Equivalencia de expresiones algebraicas en la resolución de problemas basados en relaciones lineales y cuadráticas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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Polinomios
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Un polinomio es una suma de monomios, como 3x² − 5x + 2. Para operar se agrupan los términos semejantes: los que tienen la misma parte literal.
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Factorización de polinomios
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Escribir un polinomio como producto de otros de menor grado, igual que 12 = 2² · 3, con el factor común, las identidades notables y la regla de Ruffini.
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2.º a 4.º de ESOSecundaria en México
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Calculadora de ecuaciones de segundo grado
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Herramienta: Regla de Ruffini