Saltar al contenido
Aulapedia

¿Desde dónde enseñas?

Adaptamos cursos y grados, vocabulario, tamaño de papel (A4 o Carta) y currículo (LOMLOE en España, NEM en México). Las páginas no cambian de dirección.

Polinomios: grado, valor numérico y operaciones

Un polinomio es una suma de monomios, como 3x² − 5x + 2. Para operar se agrupan los términos semejantes: los que tienen la misma parte literal.

Herramienta: Regla de Ruffini

Ver el ejemplo 1 resuelto

Matemáticas · 2.º y 3.º de ESOMatemáticas · Secundaria en México

Monomios, grado y valor numérico

Un monomio es un número multiplicado por una o varias letras con exponente natural, como −4x³. El número es el coeficiente, y las letras con sus exponentes, la parte literal. Un polinomio reúne varios monomios, y su grado es el mayor exponente de x que aparece: 3x² − 5x + 2 tiene grado 2.

El valor numérico es lo que da el polinomio al sustituir la x por un número. Para P(x) = 3x² − 5x + 2 y x = −1, P(−1) = 3 · 1 + 5 + 2 = 10. Pon siempre el número negativo entre paréntesis: (−1)² = 1.

P(−1) = 3 · (−1)² − 5 · (−1) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10

Suma, resta y producto

  • Suma: se juntan los términos del mismo grado. (2x² + 3x) + (x² − 7x + 1) = 3x² − 4x + 1.
  • Resta: se cambian de signo todos los términos del polinomio que se resta y después se suma. Es el paso donde más errores aparecen.
  • Producto: se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y se reducen los semejantes. (x + 2)(x − 3) = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6.

La división

Se ordenan dividendo y divisor de mayor a menor grado, dejando un hueco (o un 0) en los grados que falten. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, se multiplica ese cociente por todo el divisor y se resta. Se repite hasta que el resto tenga menor grado que el divisor.

Al acabar se cumple siempre D = d · c + r: dividendo igual a divisor por cociente más resto. Es la mejor forma de comprobar la cuenta.

Ejemplos resueltos paso a paso

  1. Ejemplo 1: Resta (3x² − 2x + 1) − (x³ − 5x² + 4)

    1. Restar es sumar el opuesto: quitamos el paréntesis cambiando el signo de cada término del segundo polinomio.

      (3x² − 2x + 1) − (x³ − 5x² + 4) = 3x² − 2x + 1 − x³ + 5x² − 4

    2. Agrupamos los términos semejantes (los del mismo grado) y sumamos sus coeficientes.

      −x³ + (3x² + 5x²) − 2x + (1 − 4) = −x³ + 8x² − 2x − 3

    Solución −x³ + 8x² − 2x − 3

  2. Ejemplo 2: Multiplica (2x − 3) · (x² + 4x − 1)

    1. Multiplicamos cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo (propiedad distributiva): se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

    2. 2x · (x² + 4x − 1) = 2x³ + 8x² − 2x

    3. −3 · (x² + 4x − 1) = −3x² − 12x + 3

    4. Sumamos los productos y agrupamos los términos semejantes.

      2x³ + 8x² − 2x − 3x² − 12x + 3 = 2x³ + 5x² − 14x + 3

    Solución 2x³ + 5x² − 14x + 3

  3. Ejemplo 3: Divide (x⁴ − 3x² + 2x − 1) : (x² + x − 1)

    1. Ordenamos el dividendo y el divisor de mayor a menor grado; en el dividendo dejamos un hueco (o escribimos 0) para los términos que faltan.

      (x⁴ − 3x² + 2x − 1) : (x² + x − 1)

    2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtenemos un término del cociente.

      x⁴ : x² = x²

    3. Multiplicamos ese término por el divisor y lo restamos (le cambiamos el signo y sumamos).

      (x⁴ − 3x² + 2x − 1) − (x⁴ + x³ − x²) = −x³ − 2x² + 2x − 1

    4. Dividimos el primer término del resto entre el primer término del divisor y obtenemos un término del cociente.

      −x³ : x² = −x

    5. Multiplicamos ese término por el divisor y lo restamos (le cambiamos el signo y sumamos).

      (−x³ − 2x² + 2x − 1) − (−x³ − x² + x) = −x² + x − 1

    6. Dividimos el primer término del resto entre el primer término del divisor y obtenemos un término del cociente.

      −x² : x² = −1

    7. Multiplicamos ese término por el divisor y lo restamos (le cambiamos el signo y sumamos).

      (−x² + x − 1) − (−x² − x + 1) = 2x − 2

    8. Paramos porque el resto tiene grado menor que el divisor. Cociente y resto:

      C(x) = x² − x − 1; R(x) = 2x − 2

    9. Comprobación: dividendo = divisor · cociente + resto.

      x⁴ − 3x² + 2x − 1 = (x² + x − 1) · (x² − x − 1) + 2x − 2

    Solución C(x) = x² − x − 1; R(x) = 2x − 2

Regla de RuffiniDivide entre x − a con la tabla, el resto y las raíces

Errores frecuentes

  • Sumar los exponentes al sumar monomios: 3x² + 2x² = 5x², no 5x⁴. Los exponentes solo se suman al multiplicar.
  • Cambiar de signo solo el primer término al restar: (x² + 3x) − (2x² − x) = x² + 3x − 2x² + x = −x² + 4x.
  • Olvidar los huecos en la división: x³ − 2 se escribe x³ + 0x² + 0x − 2 antes de dividir.

Ponte a prueba

Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.

  1. 1. ¿Cuál es el grado de P(x) = 4x³ − x⁵ + 2x − 7?
  2. 2. Si P(x) = x² − 3x + 4, ¿cuánto vale P(−2)?
  3. 3. Calcula (3x² − 2x + 1) − (x² + 4x − 5).
  4. 4. Calcula (2x − 1)(x + 3).
  5. 5. Al dividir x² + 5x + 6 entre x + 2, ¿qué cociente y qué resto salen?

Ejercicios de polinomios para imprimir

Elige el nivel y el número de ejercicios: cada versión sale distinta y, con «Soluciones» marcado, lleva el solucionario en las últimas páginas. PDF en A4 o Carta y Word para editar.

Paso 1: Personaliza

Ejercicios
Nivel
Más opciones (pasos en el solucionario, título de la ficha)
Si lo dejas vacío, se pone solo.

Paso 2: Revisa y descarga

Más acciones (imprimir, proyectar, enlace, guardar, PNG)

Para incluir la página visible en una presentación o compartirla como imagen.

Generador completo, con todos los tipos de ejercicio

En qué cursos se veEn qué contenidos del programa se ve

En México, estos contenidos de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relacionan con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.

La Orden EFP/754/2022 no nombra los polinomios: habla de expresiones algebraicas y de su equivalencia en todos los cursos. En Aulapedia se sitúan en 2.º, con los monomios, la suma y el producto, y en 3.º, con la división. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.

Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO, con las soluciones paso a paso.

Qué trabaja según el currículo

Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.

Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

Saberes básicos

D. Sentido algebraico

  • Igualdad y desigualdad: Equivalencia de expresiones algebraicas en la resolución de problemas basados en relaciones lineales y cuadráticas.
  • Variable: Variable: comprensión del concepto en sus diferentes naturalezas.
  • Modelo matemático: Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

CompartirWhatsAppPinterestClassroomTeamsCorreo

¿Has visto un error?AvísanosRegistro de correcciones

Sigue con las Matemáticas

  • Identidades notables

    2.º y 3.º de ESO

    Tres productos que conviene saber de memoria, (a + b)², (a − b)² y (a + b)(a − b), para desarrollar sin multiplicar término a término y para factorizar.

    Calculadora de identidades notables

  • Regla de Ruffini

    3.º y 4.º de ESO

    Divide un polinomio entre x − a usando solo los coeficientes. El teorema del resto añade un atajo: el resto de esa división es P(a).

    Herramienta: Regla de Ruffini

  • Factorización de polinomios

    4.º de ESO

    Escribir un polinomio como producto de otros de menor grado, igual que 12 = 2² · 3, con el factor común, las identidades notables y la regla de Ruffini.

    Herramienta: Regla de Ruffini

Todos los temas de Matemáticas de la ESO y del Bachillerato