Regla de Ruffini y teorema del resto, paso a paso
Divide un polinomio entre x − a usando solo los coeficientes. El teorema del resto añade un atajo: el resto de esa división es P(a).
Cómo se monta la tabla
Escribe en una fila los coeficientes del dividendo, ordenados de mayor a menor grado y con un 0 en cada grado que falte. A la izquierda, una fila más abajo, va el número a del divisor x − a. Ojo con el signo: para dividir entre x + 2, el número es −2, porque x + 2 = x − (−2).
El algoritmo
Con la tabla montada, se repiten siempre los mismos movimientos:
- Baja el primer coeficiente tal cual.
- Multiplícalo por a y escribe el resultado debajo del siguiente coeficiente.
- Suma esa columna y repite con el número que obtengas.
- El último número es el resto; los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
Un ejemplo
Para (2x³ − 3x² + 4) : (x − 2) los coeficientes son 2, −3, 0 y 4, y a = 2. Bajas el 2; 2 · 2 = 4 y −3 + 4 = 1; 1 · 2 = 2 y 0 + 2 = 2; 2 · 2 = 4 y 4 + 4 = 8. El cociente es 2x² + x + 2 y el resto, 8.
| Coeficientes | 2 | −3 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 2 (productos) | 4 | 2 | 4 | |
| Resultados | 2 | 1 | 2 | 8 (resto) |
El teorema del resto
El resto de dividir P(x) entre x − a es igual al valor numérico P(a). En el ejemplo anterior, P(2) = 16 − 12 + 4 = 8, el mismo resto. Por eso, si P(a) = 0, la división es exacta, x − a es un factor del polinomio y a es una raíz. Esta idea es la base de la factorización.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Divide por Ruffini (x³ − 7x + 6) : (x − 2)
Escribimos los coeficientes del dividendo de mayor a menor grado, con un 0 en el lugar de cada término que falta.
1 0 −7 6
A la izquierda ponemos el número que anula el divisor: si dividimos entre x − 2, ese número es 2.
Bajamos el primer coeficiente: 1.
Multiplicamos 2 · 1, lo escribimos debajo del siguiente coeficiente y sumamos la columna.
2 · 1 = 2; 0 + 2 = 2
2 · 2 = 4; −7 + 4 = −3
Última columna (es el resto):
2 · (−3) = −6; 6 + (−6) = 0
Tabla completa:
Tabla de Ruffini de la división entre x − 2 Coeficientes 1 0 −7 6 2 (productos) 2 4 −6 Resultados 1 2 −3 0 (resto) El último número es el resto. Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
C(x) = x² + 2x − 3; R = 0
Comprobación con el teorema del resto: el resto de dividir entre x − 2 es el valor del polinomio en x = 2.
P(2) = 2³ − 7 · 2 + 6 = 8 − 14 + 6 = 0
Solución C(x) = x² + 2x − 3; R = 0
Ejemplo 2: Divide por Ruffini (2x⁴ − 3x² + x − 5) : (x + 1)
Escribimos los coeficientes del dividendo de mayor a menor grado, con un 0 en el lugar de cada término que falta.
2 0 −3 1 −5
A la izquierda ponemos el número que anula el divisor: si dividimos entre x + 1, ese número es −1.
Bajamos el primer coeficiente: 2.
Multiplicamos −1 · 2, lo escribimos debajo del siguiente coeficiente y sumamos la columna.
−1 · 2 = −2; 0 + (−2) = −2
−1 · (−2) = 2; −3 + 2 = −1
−1 · (−1) = 1; 1 + 1 = 2
Última columna (es el resto):
−1 · 2 = −2; −5 + (−2) = −7
Tabla completa:
Tabla de Ruffini de la división entre x + 1 Coeficientes 2 0 −3 1 −5 −1 (productos) −2 2 1 −2 Resultados 2 −2 −1 2 −7 (resto) El último número es el resto. Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
C(x) = 2x³ − 2x² − x + 2; R = −7
Comprobación con el teorema del resto: el resto de dividir entre x + 1 es el valor del polinomio en x = −1.
P(−1) = 2 · (−1)⁴ − 3 · (−1)² + (−1) − 5 = 2 − 3 − 1 − 5 = −7
Solución C(x) = 2x³ − 2x² − x + 2; R = −7
Ejemplo 3: Sin dividir, halla el resto de (x³ − 2x + 4) : (x + 2)
Por el teorema del resto, el resto de dividir P(x) entre x + 2 es el valor numérico P(−2).
Sustituimos la x por −2.
P(−2) = (−2)³ − 2 · (−2) + 4
Calculamos las potencias y los productos, y después sumamos.
P(−2) = −8 + 4 + 4 = 0
El resto es 0: la división es exacta, x + 2 es un factor de P(x) y x = −2 es una raíz.
Solución R = 0
Errores frecuentes
- Usar el número del divisor con su signo tal cual: para dividir entre x + 3 se pone −3, no 3.
- Olvidar los ceros de los grados que faltan: en x³ − 5x + 1 los coeficientes son 1, 0, −5 y 1.
- Dar al cociente el mismo grado que el dividendo: si divides un polinomio de grado 3, el cociente es de grado 2.
Ponte a prueba
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En qué cursos se ve
La Orden EFP/754/2022 no nombra la regla de Ruffini ni el teorema del resto. En Aulapedia se sitúan en 3.º, con la división de polinomios, y en 4.º, donde sirven para buscar raíces y factorizar. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Equivalencia de expresiones algebraicas en la resolución de problemas basados en relaciones lineales y cuadráticas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
D. Sentido algebraico
- Igualdad y desigualdad: Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y no lineales sencillas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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