Calculadora de identidades y productos notables

Desarrollar y factorizar, las dos direcciones

La misma fórmula se puede leer de izquierda a derecha o al revés. Leída hacia la derecha sirve para desarrollar: quitar el paréntesis sin multiplicar término a término. Leída hacia la izquierda sirve para factorizar: convertir una suma en un producto, que es lo que se necesita para simplificar fracciones algebraicas o resolver ecuaciones. La calculadora decide qué hacer por lo que escribes: si hay paréntesis, desarrolla; si no, factoriza.

• Cuadrado de una suma (binomio al cuadrado): (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b². El último término es positivo, porque es un cuadrado.
• Suma por diferencia (binomios conjugados): (a + b)(a − b) = a² − b². Los términos del medio se anulan.
• Cubo de una suma y de una diferencia (binomio al cubo): (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.
• Binomios con un término común: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.

Para desarrollar, la calculadora dice qué identidad es, señala quién es a y quién es b (con su signo, si el primer término es negativo), sustituye en la fórmula con los paréntesis que hacen falta y calcula cada término. Para factorizar, busca los términos que son cuadrados perfectos o cubos, comprueba que el término que queda es el doble producto (o el triple) y escribe el binomio. Termina siempre multiplicando lo obtenido para que veas que sale lo mismo.

Si estudias en México o en otro país de Latinoamérica, elige tu país en la cabecera: los pasos dirán binomio al cuadrado, binomios conjugados o binomio al cubo, y los productos se escribirán con paréntesis, como 2(3x)(2).

Ideas para usarla en clase

• El cuadrado partido: dibuja un cuadrado de lado a + b dividido en un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de a por b. Después proyecta (a + b)² y busca cada trozo en el resultado.
• Cálculo mental: 101² = (100 + 1)² = 10 201 y 99 · 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 9999. Que la clase invente otros y los compruebe escribiendo el producto con números.
• Caza del error: escribe en la pizarra (x − 4)² = x² − 16 y pide que lo corrijan antes de mirar los pasos. La comprobación término a término deja claro qué falta.
• Ida y vuelta: una pareja desarrolla y la otra factoriza el resultado sin ver el enunciado. Si llegan al mismo binomio, han trabajado bien.

La explicación con ejemplos resueltos está en el tema de identidades notables. Para factorizar polinomios de grado mayor tienes la regla de Ruffini, y para usar las identidades en una ecuación, la calculadora de ecuaciones.