Radicales: simplificar, extraer factores, operar y racionalizar

Ejemplos resueltos paso a paso

1. 1

   Ejemplo 1: Simplifica ​√72Simplifica √72

   1. Descomponemos el radicando en factores primos: 72 = 2³ · 3².

      √72​=√2³·3²√72 = √(2³ · 3²)

   2. Extraemos factores: dividimos cada exponente entre el índice (2); el cociente es el exponente del factor que sale y el resto, el del que se queda dentro.

      √2³·3²​=2·3·√2√(2³ · 3²) = 2 · 3 · √2

   3. Resultado:

      √72​=6√2√72 = 6√2

   Solución 6√26√2

2. 2

   Ejemplo 2: Calcula ​2√12​+√27​−√75Calcula 2√12 + √27 − √75

   1. Simplificamos cada radical extrayendo factores (2√12 = 4√3; √27 = 3√3; √75 = 5√3).

      2√12​+√27​−√75​=4√3​+3√3​−5√32√12 + √27 − √75 = 4√3 + 3√3 − 5√3

   2. Sumamos los radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): se suman sus coeficientes y la raíz se queda igual.

      4√3​+3√3​−5√3​=(4+3−5)√3​=2√34√3 + 3√3 − 5√3 = (4 + 3 − 5)√3 = 2√3

   Solución 2√32√3

3. 3

   Ejemplo 3: Racionaliza ​21+√3Racionaliza 2/(1 + √3)

   1. Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador (el mismo binomio con el signo del medio cambiado).

      21+√3​=2(1−√3)(1+√3)(1−√3)2/(1 + √3) = (2(1 − √3))/((1 + √3)(1 − √3))

   2. En el denominador hay una suma por diferencia: el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo, y las raíces desaparecen.

      (1+√3)(1−√3)​=1²​−(√3)²​=−2(1 + √3)(1 − √3) = 1² − (√3)² = −2

   3. En el numerador aplicamos la propiedad distributiva.

      2(1−√3)​=2​−2√32(1 − √3) = 2 − 2√3

   4. Escribimos la fracción y la simplificamos.

      2−2√3−2​=√3​−1(2 − 2√3)/(−2) = √3 − 1

   5. Resultado:

      21+√3​=√3​−12/(1 + √3) = √3 − 1

   Solución √3​−1√3 − 1