Logaritmos: definición, propiedades y cambio de base
El logaritmo responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número?». Por ejemplo, log₂ 8 = 3, porque 2³ = 8.
La definición
Si a es un número positivo distinto de 1 y x es positivo, logₐ x = y significa exactamente lo mismo que aʸ = x. Es la operación inversa de la potencia, igual que la raíz cuadrada lo es de elevar al cuadrado. Para calcular un logaritmo sencillo, escribe el número como potencia de la base: log₃ 81 = 4, porque 81 = 3⁴, y log₂ (1/8) = −3, porque 1/8 = 2⁻³.
Dos logaritmos tienen nombre propio: el decimal, de base 10, que se escribe log sin más, y el neperiano, de base e ≈ 2,718, que se escribe ln.
Las propiedades
Son las propiedades de las potencias leídas al revés: al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, y un logaritmo es justamente un exponente.
- logₐ 1 = 0 y logₐ a = 1, porque a⁰ = 1 y a¹ = a.
- Producto: logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y. Por ejemplo, log 2 + log 50 = log 100 = 2.
- Cociente: logₐ (x/y) = logₐ x − logₐ y.
- Potencia: logₐ (xⁿ) = n · logₐ x.
Cambio de base
Muchas calculadoras solo traen log y ln. Para otra base se usa logₐ x = log x / log a. Así, log₂ 10 = log 10 / log 2 = 1 / 0,30103 ≈ 3,32. Sirve cualquier base en el cociente, siempre que sea la misma arriba y abajo.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Calcula log₂ 32
Por la definición, log₂ 32 es el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 32.
log₂ 32 = y ⇔ 2ʸ = 32
Como 2⁵ = 32, y = 5.
log₂ 32 = 5
Solución log₂ 32 = 5
Ejemplo 2: Calcula log₄ 8
Por la definición, log₄ 8 es el exponente al que hay que elevar 4 para obtener 8.
log₄ 8 = y ⇔ 4ʸ = 8
8 no es 4 elevado a un número entero, pero los dos son potencias de 2: 4 = 2² y 8 = 2³.
(2²)ʸ = 2³ ⇔ 2²ʸ = 2³
Con la misma base, los exponentes tienen que ser iguales.
2y = 3 ⇔ y = 3/2
Solución log₄ 8 = 3/2
Ejemplo 3: Resuelve log x + log(x − 3) = 1
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
log(x(x − 3)) = 1
Por la definición de logaritmo:
x(x − 3) = 10¹ = 10
Es una ecuación de segundo grado.
x² − 3x − 10 = 0 ⇒ x = (3 ± √49)/2 ⇒ x = 5; x = −2
Comprobación: x = −2 no vale (el logaritmo de un negativo no existe). Con x = 5, los dos argumentos son positivos y los dos miembros coinciden.
log 5 + log(5 − 3) = log 5 + log 2 = log 10 = 1
Solución x = 5
Errores frecuentes
- Repartir el logaritmo de una suma: log (x + y) no es log x + log y. Esa propiedad es la del producto.
- Calcular el logaritmo de 0 o de un número negativo: no existen, porque ninguna potencia de base positiva da 0 ni un resultado negativo.
- Confundir log (x/y) con log x / log y: el primero es log x − log y; el segundo es otra cosa (la fórmula del cambio de base).
Ponte a prueba
Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.
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En qué cursos se ve
Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022 en la ESO y Real Decreto 243/2022 en Bachillerato). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º
A. Sentido numérico
- Sentido de las operaciones: Propiedades y relaciones inversas de las operaciones: cálculos con números reales, incluyendo con herramientas digitales.
- Sentido de las operaciones: Operaciones con números reales en la resolución de situaciones contextualizadas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º
A. Sentido numérico
- Sentido de las operaciones: Potencias, raíces y logaritmos: comprensión y utilización de sus relaciones para simplificar y resolver problemas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas I · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas I, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos · Matemáticas I, Bachillerato, 1.º
D. Sentido algebraico
- Relaciones y funciones: Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómicas, exponenciales, irracionales, racionales sencillas, logarítmicas, trigonométricas y a trozos: comprensión y comparación.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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Potencias
1.º a 4.º de ESOSecundaria en México
Una multiplicación repetida: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Sus propiedades permiten operar sin calcularla, si coinciden las bases o los exponentes.
Calculadora de potencias
Notación científica
2.º y 3.º de ESOSecundaria en México
Un número escrito como a · 10ⁿ, con una sola cifra distinta de cero antes de la coma y n entero. Sirve para cantidades enormes o diminutas.
Convertidor a notación científica
Radicales
4.º de ESO
Expresiones con raíces, como √12 o ∛5. Si la raíz no es exacta, no se pasa a decimales: se simplifica, se extraen factores y se opera con ellas.
Calculadora de radicales
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