Potencias: propiedades, exponente cero y exponente negativo
Una multiplicación repetida: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Sus propiedades permiten operar sin calcularla, si coinciden las bases o los exponentes.
Base y exponente
En aⁿ, la base a es el número que se repite y el exponente n indica cuántas veces se multiplica. Con bases negativas, el signo depende del exponente: (−3)² = 9, pero (−3)³ = −27. Y fíjate en los paréntesis: −3² es −9, porque el exponente solo afecta al 3.
Las propiedades
Cuando coinciden las bases, o los exponentes, se puede operar sin calcular cada potencia:
- Producto de la misma base: se suman los exponentes. a³ · a⁴ = a⁷.
- Cociente de la misma base: se restan. a⁶ : a² = a⁴.
- Potencia de una potencia: se multiplican. (a²)³ = a⁶.
- Potencia de un producto o de un cociente: el exponente se reparte. (2a)³ = 8a³ y (a/b)² = a²/b².
- Suma y resta: no hay ninguna regla. 2³ + 2⁴ no es 2⁷: se calcula cada potencia y después se suma, 8 + 16 = 24.
Exponente cero y exponente negativo
Al dividir a³ entre a³ salen dos resultados que tienen que coincidir: por la regla, a⁰; y como un número entre sí mismo da 1, a⁰ = 1 (con a distinto de 0). Del mismo modo, a² : a⁵ = a⁻³, que también es 1/a³. Por eso un exponente negativo significa «uno partido por la potencia con exponente positivo»: 2⁻³ = 1/8 y (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Simplifica 2³ · 2⁵ : 2⁴
Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes. Cociente de potencias de la misma base: se restan los exponentes.
2³ · 2⁵ : 2⁴ = 2³⁺⁵⁻⁴ = 2⁴
Calculamos el valor.
2⁴ = 16
Solución 2⁴ = 16
Ejemplo 2: Simplifica (3²)⁴ · 3⁻⁵
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.
(3²)⁴ · 3⁻⁵ = 3⁸ · 3⁻⁵
Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes.
3⁸ · 3⁻⁵ = 3⁸⁺⁽⁻⁵⁾ = 3³
Calculamos el valor.
3³ = 27
Solución 3³ = 27
Ejemplo 3: Simplifica (12³ · 9²) : (6⁴ · 2³)
Quitamos los paréntesis.
(12³ · 9²) : (6⁴ · 2³) = 12³ · 9² : 6⁴ : 2³
Descomponemos las bases en factores primos para tener potencias de la misma base (12 = 2² · 3; 9 = 3²; 6 = 2 · 3) y aplicamos la potencia de una potencia.
12³ · 9² : 6⁴ : 2³ = 2⁶ · 3³ · 3⁴ : 2⁴ : 3⁴ : 2³
Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes. Cociente de potencias de la misma base: se restan los exponentes.
2⁶ · 3³ · 3⁴ : 2⁴ : 3⁴ : 2³ = 2⁶⁻⁴⁻³ · 3³⁺⁴⁻⁴ = 2⁻¹ · 3³
Un exponente negativo es el inverso de la potencia con el exponente positivo.
2⁻¹ · 3³ = 3³/2
Calculamos el valor.
3³/2 = 27/2
Solución 3³/2 = 27/2
Errores frecuentes
- Multiplicar la base por el exponente: 3⁴ no es 12, es 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
- Pensar que un exponente negativo da un número negativo: 5⁻² = 1/25, que es positivo.
- Aplicar las propiedades con bases distintas: 2³ · 3² no se junta en una sola potencia; se calcula 8 · 9 = 72.
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- Cantidad: Números grandes y pequeños: notación exponencial y científica y uso de la calculadora.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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El logaritmo responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número?». Por ejemplo, log₂ 8 = 3, porque 2³ = 8.
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