Circunferencia, círculo y esfera en secundaria
De la circunferencia a la esfera en tres grados: en 1.º, sus rectas notables y construcciones; en 2.º, ángulos centrales e inscritos, arcos y áreas de figuras con círculos; en 3.º, la esfera y la relación entre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera.
Qué dice el programa
Contenido 10 de Matemáticas
Circunferencia, círculo y esfera.
1.er grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Identifica y traza las rectas notables en la circunferencia y las relaciones entre ellas.
- Investiga figuras relacionadas con círculos y propiedades de los círculos.
- Construye circunferencias a partir de distinta información.
- Verifica los criterios de existencia y unicidad de estas figuras.
Planear con este contenidoLista de cotejo y rúbrica de este PDA
2.º grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Determina la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos de circunferencia.
- Explora las intersecciones entre círculos y figuras al calcular perímetros y áreas.
Planear con este contenidoLista de cotejo y rúbrica de este PDA
3.er grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Explora y construye desarrollos planos de esferas.
- Indaga la generación de esferas a partir de figuras planas.
- Encuentra relaciones de volumen de la esfera, el cono y el cilindro.
Planear con este contenidoLista de cotejo y rúbrica de este PDA
Fuente: anexo del Acuerdo 08/08/23 (Diario Oficial de la Federación, 15 de agosto de 2023), según la edición de la SEP del Programa Sintético de la Fase 6 (2024), págs. 60-61 del PDF. Se reproduce sin cambios: es texto oficial publicado en el DOF (Ley Federal del Derecho de Autor, art. 14, fracc. VIII). Lo demás de esta página es de Aulapedia. La edición SEP 2025 dice lo mismo en este contenido. Edición 2025 cotejada el 2 de octubre de 2026. Última comprobación de los enlaces: 11 de octubre de 2026.
Qué es y por qué importa
Las figuras redondas recorren los tres grados. En 1.º, el alumnado identifica y traza las rectas notables de la circunferencia (radio, diámetro, cuerda, secante y tangente), construye circunferencias a partir de distinta información (por ejemplo, la que pasa por tres puntos) y verifica cuándo existen y son únicas.
En 2.º, que es el grado de la ficha de esta página, se miden ángulos centrales e inscritos y arcos, y se calculan perímetros y áreas de figuras que combinan círculos con otras figuras, como coronas, sectores o un cuadrado con un círculo inscrito. En 3.º llega la esfera: sus desarrollos aproximados, su generación al girar un semicírculo y la relación entre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera.
Para el docente: cómo explicarlo
Elementos y rectas notables
La circunferencia es la línea formada por los puntos que están a la misma distancia (el radio) de un punto, el centro; el círculo es la superficie que encierra. Una cuerda une dos puntos de la circunferencia; si pasa por el centro es un diámetro, que mide el doble del radio. Una secante corta la circunferencia en dos puntos y una tangente la toca en uno solo, y es perpendicular al radio en ese punto.
Longitud y área
En cualquier circunferencia, la longitud dividida entre el diámetro da siempre el mismo número, π, que vale aproximadamente 3.14. Por eso la longitud es π × d = 2 × π × r, y el área del círculo, π × r². Con un radio de 10 cm: longitud ≈ 62.8 cm y área ≈ 314 cm².
Conviene aclarar que π no es 3.14: 3.14 es una aproximación, suficiente para la mayoría de los problemas escolares. Medir con un hilo la circunferencia de varios objetos y dividir entre su diámetro es la mejor forma de descubrirlo.
Ángulos centrales e inscritos (2.º)
Un ángulo central tiene el vértice en el centro y mide lo mismo que el arco que abarca. Un ángulo inscrito tiene el vértice sobre la circunferencia y mide la mitad del arco que abarca. De ahí un resultado precioso: todo ángulo inscrito que abarca un diámetro (un arco de 180°) es recto.
Un sector circular es la parte del círculo entre dos radios. Su área es la fracción del círculo que indica su ángulo: un sector de 90° es la cuarta parte del círculo. Una corona es la región entre dos circunferencias con el mismo centro, y su área es la diferencia de las áreas de los dos círculos.
La esfera (3.º)
La esfera se genera al girar un semicírculo sobre su diámetro. Su volumen es 4/3 × π × r³. Arquímedes descubrió una relación muy visual: si un cono, una esfera y un cilindro tienen el mismo radio y la altura del cono y del cilindro es el diámetro de la esfera, sus volúmenes están en proporción 1 : 2 : 3.
Cómo llevarlo al salón
Lleva objetos redondos (tapas, platos, latas) y una cinta métrica o un hilo, y pide que el grupo mida circunferencias y diámetros y divida. Para los ángulos inscritos, que dibujen varios ángulos sobre el mismo arco y los midan con el transportador antes de enunciar la regla. Para las áreas, recortar sectores de papel ayuda a ver qué fracción del círculo son.
Ejemplos para el salón
La pizza en rebanadas
Una pizza de 30 cm de diámetro se corta en 8 rebanadas iguales. Cada una tiene un ángulo central de 360° ÷ 8 = 45°, y su área es la octava parte del círculo: 3.14 × 15² ÷ 8 ≈ 88.31 cm².
Buscar el centro de un plato
Para encontrar el centro de un plato redondo, se trazan dos cuerdas y sus mediatrices: se cortan en el centro. Si se apoya una escuadra con el ángulo recto en el borde, los puntos donde sus lados cortan al borde son los extremos de un diámetro.
El círculo de la cancha
El círculo central de una cancha de basquetbol tiene 1.8 m de radio. ¿Cuánta pintura hace falta para su línea? Su longitud es 2 × 3.14 × 1.8 ≈ 11.3 m.
Errores frecuentes e ideas previas
- Confundir radio y diámetro al aplicar las fórmulas, y obtener áreas cuatro veces mayores.
- Pensar que π es exactamente 3.14.
- Creer que un ángulo inscrito mide lo mismo que el arco que abarca, como el central.
- Confundir circunferencia (la línea) con círculo (la superficie).
Ideas de proyecto: comunitario, escolar y de aula
Propuestas propias para trabajar este contenido por proyectos, con una metodología de las que sugiere la SEP para los campos formativos. Adáptalas a tu grupo y a tu comunidad: no son un formato oficial.
Proyecto de aula
Buscando a π
¿Qué relación hay entre lo que mide la vuelta de un objeto redondo y su diámetro?
El grupo mide con hilo y regla la circunferencia y el diámetro de muchos objetos redondos, calcula sus cocientes y descubre que se acercan a 3.14.
Cómo se hace
- Reunir al menos diez objetos redondos de tamaños distintos.
- Medir la circunferencia con hilo y el diámetro con regla.
- Calcular el cociente de cada objeto y hacer una tabla.
- Comparar resultados y explicar por qué no salen exactamente iguales.
- Producto
- Tabla de mediciones con una conclusión sobre π.
- Metodología
- Aprendizaje basado en indagación (STEAM como enfoque)
- Ejes articuladores
- Pensamiento crítico
- PDA que trabaja
- PDA 2 de 1.er grado (ver en el programa)
Proyecto escolar
Diseño del jardín circular
¿Cuánta tierra, planta y orilla necesita un jardín circular para la escuela?
El grupo diseña un jardín con forma de círculo o de corona, calcula su perímetro y su área y estima la orilla, la tierra y las plantas necesarias.
Cómo se hace
- Medir el espacio y elegir el radio.
- Dibujar el diseño a escala con sectores para distintas plantas.
- Calcular perímetros, áreas y ángulos de los sectores.
- Estimar materiales y presentar la propuesta.
- Producto
- Plano del jardín con cálculos y lista de materiales.
- Metodología
- Aprendizaje Basado en Problemas (ABP)
- Ejes articuladores
- Vida saludable, Pensamiento crítico
- PDA que trabaja
- PDA 1PDA 2 de 2.º grado (ver en el programa)
Ficha de trabajo con solucionario
10 ejercicios que se corrigen solos y 2 tareas para pensar y escribir, con las respuestas en las últimas hojas. PDF en A4 o Carta y Word para editar. «Generar otra versión» cambia el orden de las opciones: sirve para tener dos versiones del mismo examen.
Paso 1: Personaliza
Más opciones (incluir la parte 2 (tareas abiertas), título de la hoja)
Paso 2: Revisa y descarga
Más acciones (imprimir, proyectar, enlace, guardar, PNG)
Para incluir la página visible en una presentación o compartirla como imagen.
Practicar en pantalla
Los mismos ejercicios de la parte 1 de la ficha, en el mismo orden que la vista previa. Comprueba cada respuesta y verás al momento si es correcta y por qué. Con «Pantalla completa», para la pizarra digital. Sin registro y sin datos del alumnado.
Ficha de trabajo: Circunferencia, círculo y esfera
Lee con atención cada ejercicio y responde: elige, ordena, une, completa o clasifica según se pida.
0 de 10 respondidas
Se corrige en este dispositivo: las respuestas no salen de tu navegador.
Parte 2: para pensar y escribir
Estas tareas no se corrigen solas: se hacen en el cuaderno o en la ficha impresa. Al terminar, compara con la respuesta orientativa.
Explica por qué cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Ver la respuesta orientativa
Abarca un arco de 180°, la mitad de la circunferencia, y un ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca: 180° ÷ 2 = 90°.
Una pizza de 30 cm de diámetro se corta en 8 rebanadas iguales. ¿Cuánto mide el ángulo central de cada una y qué área tiene, usando 3.14?
Ver la respuesta orientativa
360° ÷ 8 = 45° por rebanada. La pizza tiene 3.14 × 15² = 706.5 cm² y cada rebanada, 706.5 ÷ 8 ≈ 88.31 cm².
Preguntas frecuentes
¿Qué valor de π uso en clase?
3.14 es suficiente para casi todos los problemas, siempre que se diga que es una aproximación y que los resultados son aproximados. Con calculadora se puede usar la tecla π para comparar.
¿Por qué la ficha es de 2.º y no de 1.º?
Porque en 2.º se concentran los cálculos (ángulos, arcos, perímetros y áreas), que se prestan a una ficha autocorregible. Lo de 1.º es sobre todo de trazos y construcciones, que se trabajan mejor con regla y compás en el cuaderno.
¿Cómo muestro que el ángulo inscrito es la mitad del central?
Con dibujos y transportador: varios ángulos inscritos sobre el mismo arco miden lo mismo, y siempre la mitad del central. Después se puede justificar con los triángulos isósceles que forman los radios.
También en Aulapedia
- La circunferencia y el círculoRepaso con lámina de los elementos.
- Transportador para imprimirPara medir ángulos centrales e inscritos.
- Diagrama de flujo: el área de un círculoEl procedimiento paso a paso, en un organizador.
- Calculadora científicaCon la tecla de π, para comparar con la aproximación 3.14.
- Práctica para examen: área, perímetro y volumenIncluye círculos, cilindros y esferas en preguntas con cuatro opciones.
¿Has visto un error?AvísanosRegistro de correcciones
Otros contenidos de Matemáticas
Fracciones y decimales
Una misma cantidad puede escribirse como fracción o como decimal. Este contenido pide pasar de una forma a otra con varias estrategias (dividir, buscar fracciones equivalentes con denominador 10, 100 o 1000, apoyarse en equivalencias conocidas) y elegir la que conviene.
Números positivos y negativos
Los números negativos nacen de medir desde un cero de referencia: temperaturas, altitudes, saldos. Este contenido pide ubicarlos en la recta numérica, compararlos y ordenarlos, también con fracciones y decimales, y descubrir que entre dos números siempre cabe otro.
Operaciones y relaciones inversas
Sumar, restar, multiplicar y dividir con números con signo, entender que cada operación tiene su inversa, comprobar qué propiedades se cumplen y respetar la jerarquía de operaciones. En 2.º se suman el m.c.d., el m.c.m., las potencias, la raíz cuadrada y la notación científica.
Sucesiones y patrones
Observar cómo crece una sucesión de figuras o de números y escribir su regla con una expresión algebraica: en 1.º, sucesiones aritméticas, que crecen siempre lo mismo (como 3n + 1); en 2.º, cuadráticas, que crecen cada vez más (como n² + 1).
Introducción al álgebra
Las letras representan cantidades que varían o que todavía no se conocen. En 1.º se traduce del lenguaje común al algebraico y se escriben perímetros; en 2.º, áreas que dan expresiones con x² y las leyes de los exponentes; en 3.º, áreas y volúmenes despejando una variable.
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Resolver ecuaciones con las propiedades de la igualdad y usarlas para resolver problemas: en 1.º, ecuaciones lineales y problemas de porcentajes; en 2.º, desigualdades y sistemas de dos ecuaciones; en 3.º, ecuaciones cuadráticas por factorización y con la fórmula general.
Funciones y proporcionalidad
Dos cantidades que varían juntas, vistas en tablas, gráficas y ecuaciones. En 1.º, distinguir lo proporcional de lo que no lo es y escribir y = kx; en 2.º, la proporcionalidad inversa; en 3.º, cualquier variación y los repartos proporcionales.
Rectas y ángulos
Puntos, rectas, segmentos y ángulos con su notación, y los ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan: opuestos por el vértice, iguales; adyacentes, que suman 180°. En 2.º, esas relaciones sirven para construir triángulos, cuadriláteros y polígonos a escala.
Figuras planas y cuerpos
Construir con regla y compás (punto medio, mediatriz, bisectriz, perpendiculares y paralelas), conocer las rectas notables de triángulos y cuadriláteros y clasificarlos. En 2.º, polígonos regulares y teselados; en 3.º, congruencia, semejanza y cuerpos.
Medición y cálculo
Medir y calcular en contextos reales a lo largo de tres grados: distancias, perímetros y áreas en 1.º; conversiones (también con unidades del sistema inglés) y figuras compuestas en 2.º; volúmenes, teorema de Pitágoras y razones trigonométricas en 3.º.
Tablas y gráficas
Recolectar datos, organizarlos en tablas y representarlos con la gráfica adecuada: barras y circulares en 1.º; histogramas, poligonales y de línea en 2.º; y en 3.º, leer e interpretar cualquier gráfica con mirada crítica.
Medidas de tendencia central y dispersión
Resumir un conjunto de datos con un valor representativo (media, mediana o moda) y medir cuánto se separan (rango y, desde 2.º, desviación media), para justificar decisiones y, en 3.º, comparar dos conjuntos de datos.
Azar y probabilidad
Distinguir lo que depende del azar, describir todos los resultados posibles y contarlos; comparar qué es más o menos probable (1.º), pasar de la frecuencia a la probabilidad teórica (2.º) y calcular probabilidades de eventos complementarios, excluyentes e independientes (3.º).