Medición y cálculo: áreas, volúmenes, Pitágoras y trigonometría
Medir y calcular en contextos reales a lo largo de tres grados: distancias, perímetros y áreas en 1.º; conversiones (también con unidades del sistema inglés) y figuras compuestas en 2.º; volúmenes, teorema de Pitágoras y razones trigonométricas en 3.º.
Qué dice el programa
Contenido 11 de Matemáticas
Medición y cálculo en diferentes contextos.
1.er grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une.
- Encuentra la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas paralelas.
- Explora la desigualdad del triángulo.
- Obtiene y aplica fórmulas o usa otras estrategias para calcular el perímetro y el área de polígonos regulares e irregulares y del círculo.
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2.º grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Resuelve problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra).
- Utiliza estrategias diversas para determinar el perímetro y el área de figuras compuestas.
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3.er grado · Procesos de desarrollo de aprendizaje (PDA)
- Usa diferentes estrategias para calcular el volumen de prismas, pirámides y cilindros.
- Formula, justifica y usa el teorema de Pitágoras al resolver problemas.
- Resuelve problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
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Fuente: anexo del Acuerdo 08/08/23 (Diario Oficial de la Federación, 15 de agosto de 2023), según la edición de la SEP del Programa Sintético de la Fase 6 (2024), pág. 61 del PDF. Se reproduce sin cambios: es texto oficial publicado en el DOF (Ley Federal del Derecho de Autor, art. 14, fracc. VIII). Lo demás de esta página es de Aulapedia. La edición SEP 2025 dice lo mismo en este contenido. Edición 2025 cotejada el 2 de octubre de 2026. Última comprobación de los enlaces: 11 de octubre de 2026.
Qué es y por qué importa
Es, junto con los dos anteriores, el contenido de geometría con más PDA del programa (nueve cada uno), y los suyos tienen algo en común: calcular medidas que no se pueden tomar directamente. En 1.º, el alumnado entiende la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une, encuentra la distancia de un punto a una recta, explora la desigualdad del triángulo y obtiene fórmulas de perímetros y áreas de polígonos y del círculo.
En 2.º se trabajan conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro, el litro y el kilogramo y con unidades del sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra), además de perímetros y áreas de figuras compuestas. En 3.º, el grado de la ficha de esta página, llegan el volumen de prismas, pirámides y cilindros, el teorema de Pitágoras (formularlo, justificarlo y usarlo) y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Para el docente: cómo explicarlo
Distancias, perímetros y áreas (1.º)
La distancia de un punto a una recta es la del segmento perpendicular, el más corto. En un triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos: es la desigualdad del triángulo, que explica por qué el camino recto es siempre el más corto. Las fórmulas de áreas se obtienen descomponiendo: un paralelogramo se transforma en un rectángulo y un triángulo es la mitad de un paralelogramo.
Conversiones y figuras compuestas (2.º)
Las equivalencias del sistema inglés que más se usan son exactas por definición: una pulgada son 2.54 cm, una yarda son 0.9144 m y una libra son 0.45359237 kg (en la práctica, 0.454 kg). El galón estadounidense son unos 3.785 litros y la onza de peso, unos 28.35 gramos. Un televisor de 50 pulgadas tiene una diagonal de 50 × 2.54 = 127 cm.
El área de una figura compuesta se calcula descomponiéndola en figuras conocidas, o calculando un rectángulo que la contiene y restando lo que sobra.
Volumen (3.º)
Todas las fórmulas salen de la misma idea, «base por altura», con un ajuste en los cuerpos que terminan en punta:
- Prisma y cilindro: área de la base por la altura. Un cilindro de 2 m de radio y 5 m de altura tiene 3.14 × 2² × 5 = 62.8 m³.
- Pirámide y cono: la tercera parte del prisma o del cilindro con la misma base y la misma altura.
- Capacidad: 1 dm³ = 1 litro y 1 m³ = 1,000 litros, la equivalencia que permite saber cuánto cabe en un tinaco o una cisterna.
Pitágoras y trigonometría (3.º)
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². El PDA pide formularlo, justificarlo (por ejemplo, con cuadrados construidos sobre los lados y recortes) y usarlo: con catetos de 6 y 8, la hipotenusa mide 10.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo comparan los lados de un triángulo rectángulo: el seno es cateto opuesto entre hipotenusa; el coseno, cateto adyacente entre hipotenusa, y la tangente, cateto opuesto entre cateto adyacente. Permiten calcular alturas y distancias inaccesibles midiendo solo un ángulo y un lado.
Cómo llevarlo al salón
Usa objetos y espacios de la escuela: el volumen de un salón, de una caja o del tinaco; la altura de un árbol o de un poste con su sombra o con un clinómetro hecho con transportador e hilo. Antes de aplicar una fórmula, pide una estimación: así el grupo detecta resultados absurdos.
Ejemplos para el salón
La altura del poste
Con un clinómetro casero, el grupo mide que desde 10 m de distancia la punta de un poste se ve con un ángulo de 35°. Con la tangente: altura ≈ 10 × 0.7 = 7 m, más la altura de los ojos de quien mide.
¿Cuántos litros caben en el tinaco?
Un tinaco cilíndrico tiene 0.55 m de radio y 1.1 m de altura. Su volumen es 3.14 × 0.55² × 1.1 ≈ 1.045 m³, unos 1,045 litros. Reto: ¿qué altura necesitaría, con el mismo radio, para que cupieran 1,100 litros?
La diagonal de la cancha
Una cancha mide 28 m por 15 m. Para saber cuánto mide su diagonal: √(28² + 15²) = √1009 ≈ 31.8 m. Después, el grupo puede comprobarlo con una cinta métrica larga.
Errores frecuentes e ideas previas
- Confundir área (cm²) y volumen (cm³) o mezclar unidades sin convertir.
- Olvidar dividir entre 3 el volumen de la pirámide o del cono.
- Sumar los catetos en lugar de sus cuadrados al aplicar el teorema de Pitágoras.
- Usar seno, coseno o tangente sin identificar cuál es el cateto opuesto y cuál el adyacente al ángulo.
- Convertir unidades cuadradas o cúbicas como si fueran lineales: 1 m² son 10,000 cm², no 100.
Ideas de proyecto: comunitario, escolar y de aula
Propuestas propias para trabajar este contenido por proyectos, con una metodología de las que sugiere la SEP para los campos formativos. Adáptalas a tu grupo y a tu comunidad: no son un formato oficial.
Proyecto escolar
Agua de lluvia para la escuela
¿Cuánta agua de lluvia podríamos captar y guardar en la escuela?
El grupo mide el área de un techo, investiga la lluvia de la región en una fuente oficial y calcula cuántos litros se podrían captar y qué volumen de depósito haría falta.
Cómo se hace
- Medir el techo y calcular su área.
- Consultar la lluvia promedio de la región en el Servicio Meteorológico Nacional.
- Calcular los litros que caen sobre el techo en un mes de lluvias.
- Comparar con el volumen de tinacos o cisternas disponibles.
- Presentar la propuesta a la comunidad escolar.
- Producto
- Propuesta de captación de lluvia con cálculos de área y volumen.
- Metodología
- Aprendizaje Servicio (AS)
- Ejes articuladores
- Vida saludable, Pensamiento crítico
- PDA que trabaja
- PDA 1 de 3.er grado (ver en el programa)
Proyecto de aula
Medir lo que no se alcanza
¿Cómo medimos la altura de un árbol o de un edificio sin subirnos?
Por equipos, el grupo construye un clinómetro, mide ángulos y distancias en el patio y calcula alturas con la tangente y con el teorema de Pitágoras, comparando métodos.
Cómo se hace
- Construir un clinómetro con transportador, popote e hilo con peso.
- Medir el ángulo de elevación y la distancia al objeto.
- Calcular la altura con la tangente.
- Comparar con otro método, como las sombras.
- Comunicar resultados y fuentes de error.
- Producto
- Informe con mediciones, cálculos y comparación de métodos.
- Metodología
- Aprendizaje basado en indagación (STEAM como enfoque)
- Ejes articuladores
- Pensamiento crítico
- PDA que trabaja
- PDA 2PDA 3 de 3.er grado (ver en el programa)
Ficha de trabajo con solucionario
10 ejercicios que se corrigen solos y 2 tareas para pensar y escribir, con las respuestas en las últimas hojas. PDF en A4 o Carta y Word para editar. «Generar otra versión» cambia el orden de las opciones: sirve para tener dos versiones del mismo examen.
Paso 1: Personaliza
Más opciones (incluir la parte 2 (tareas abiertas), título de la hoja)
Paso 2: Revisa y descarga
Más acciones (imprimir, proyectar, enlace, guardar, PNG)
Para incluir la página visible en una presentación o compartirla como imagen.
Practicar en pantalla
Los mismos ejercicios de la parte 1 de la ficha, en el mismo orden que la vista previa. Comprueba cada respuesta y verás al momento si es correcta y por qué. Con «Pantalla completa», para la pizarra digital. Sin registro y sin datos del alumnado.
Ficha de trabajo: Medición y cálculo
Lee con atención cada ejercicio y responde: elige, ordena, une, completa o clasifica según se pida.
0 de 10 respondidas
Se corrige en este dispositivo: las respuestas no salen de tu navegador.
Parte 2: para pensar y escribir
Estas tareas no se corrigen solas: se hacen en el cuaderno o en la ficha impresa. Al terminar, compara con la respuesta orientativa.
Una escalera de 5 m está apoyada en una pared y su pie está a 1.4 m de la pared. ¿A qué altura llega?
Ver la respuesta orientativa
Altura al cuadrado = 5² − 1.4² = 25 − 1.96 = 23.04, y la raíz cuadrada de 23.04 es 4.8: la escalera llega a 4.8 m de altura.
Explica cómo calcularías cuántos litros caben en un tinaco cilíndrico si conoces su radio y su altura.
Ver la respuesta orientativa
Con el volumen del cilindro: 3.14 × radio² × altura. Si las medidas están en decímetros, el resultado sale en dm³, que son litros; si están en metros, se multiplica por 1,000, porque 1 m³ = 1,000 L.
Preguntas frecuentes
¿Hace falta que memoricen las equivalencias del sistema inglés?
No: el PDA pide resolver problemas de conversiones. Lo útil es tener una tabla a la mano y saber usarla, y conocer de memoria la pulgada (2.54 cm), que aparece en pantallas, llantas y tuberías.
¿Cómo justifico el teorema de Pitágoras en 3.º?
Con una demostración visual: construir cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo y recortar los de los catetos para cubrir el de la hipotenusa, o comparar dos cuadrados grandes iguales divididos de dos formas. Que el grupo la reproduzca y la explique es parte del PDA.
¿Se usan tablas o calculadora para las razones trigonométricas?
Cualquiera de las dos. Lo importante es saber qué razón usar en cada situación; los valores se pueden leer en una calculadora científica (en grados) o en una tabla.
También en Aulapedia
- Teorema de PitágorasTema con ejemplos resueltos y un generador de fichas con triángulos dibujados.
- Prisma rectangular para armarPara medir y calcular el volumen de un cuerpo real.
- Pirámide cuadrangular para armarPara comparar su volumen con el del prisma.
- Calculadora científicaCon raíces, potencias y razones trigonométricas.
- Qué es el áreaRepaso de la idea de área y sus unidades.
- Práctica para examen: teorema de PitágorasCatetos, hipotenusas y distancias en preguntas que se explican al responder.
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