Teorema de Pitágoras: fórmula, ejemplos y problemas
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b².
El teorema
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, de 90°. Los dos lados que forman ese ángulo son los catetos (a y b), y el lado opuesto, el más largo, es la hipotenusa (c). El teorema dice que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Solo vale para triángulos rectángulos. Con un triángulo de lados 3, 4 y 5 se puede comprobar: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Lleva el nombre de Pitágoras, filósofo y matemático griego del siglo VI antes de nuestra era, aunque otras culturas, como la babilónica, ya usaban antes esta relación.
Calcular la hipotenusa o un cateto
Despejando en la fórmula:
- La hipotenusa: se suman los cuadrados de los catetos y se saca la raíz cuadrada. Con catetos de 6 y 8, c = √(36 + 64) = √100 = 10.
- Un cateto: al cuadrado de la hipotenusa se le resta el cuadrado del otro cateto, y se saca la raíz. Con c = 13 y a = 5, b = √(169 − 25) = √144 = 12.
- Si la raíz no es exacta, se deja indicada (√52) o se da aproximada, por ejemplo con dos decimales: √52 ≈ 7.21. La hipotenusa tiene que salir mayor que cada cateto: es una buena comprobación.
Ternas pitagóricas y el teorema al revés
Los tríos de números enteros que cumplen el teorema se llaman ternas pitagóricas: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) y todos sus múltiplos, como (6, 8, 10). El teorema también funciona al revés: si los lados de un triángulo cumplen c² = a² + b², el triángulo es rectángulo. Con una cuerda con marcas de 3, 4 y 5 unidades se puede trazar un ángulo recto en un terreno o en el patio.
Dónde aparece
Siempre que hay un ángulo recto escondido: la altura a la que llega una escalera apoyada en una pared, la diagonal de una pantalla o de un rectángulo, la longitud de una rampa, la distancia en línea recta entre dos puntos de un plano o la altura de un triángulo isósceles, que queda partido en dos triángulos rectángulos. El primer paso de cualquier problema es dibujar el triángulo y marcar qué lado se busca.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Calcula la hipotenusa. Los catetos miden 7 cm y 24 cm.
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
Saca la raíz cuadrada:
c = √625 = 25 cm
Solución c = 25 cm
Ejemplo 2: Calcula el cateto que falta. La hipotenusa mide 18 cm y un cateto, 12 cm.
Un cateto al cuadrado es la hipotenusa al cuadrado menos el cuadrado del otro cateto:
b² = 18² − 12² = 324 − 144 = 180
Saca la raíz cuadrada (no es exacta: se redondea a dos decimales):
b = √180 ≈ 13.42 cm
Solución b = √180 ≈ 13.42 cm
Ejemplo 3: Una escalera de 5 m está apoyada en una pared vertical y su pie está a 3 m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
Un cateto al cuadrado es la hipotenusa al cuadrado menos el cuadrado del otro cateto:
x² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
Saca la raíz cuadrada:
x = √16 = 4 m
Solución x = 4 m
Errores frecuentes
- Sumar los catetos en lugar de sus cuadrados: con catetos 3 y 4, la hipotenusa no es 7, es 5.
- Olvidar la raíz cuadrada al final y dar c² como resultado: 25 en lugar de 5.
- Sumar los cuadrados para hallar un cateto: el cateto sale de una resta, b² = c² − a².
- Usar el teorema en un triángulo que no es rectángulo.
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En qué cursos se veEn qué contenidos del programa se ve
En México, este contenido de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relaciona con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.
Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022). En 2.º, con la «relación pitagórica» en figuras planas y en cuerpos. En México es un PDA de 3.er grado de secundaria. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos
C. Sentido espacial
- Figuras geométricas de dos y tres dimensiones: Relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales: identificación y aplicación.
- Visualización, razonamiento y modelización geométrica: Modelización geométrica: relaciones numéricas y algebraicas en la resolución de problemas.
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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