Distribución binomial: fórmula, media y aproximación por la normal

Cuándo una variable es binomial

Un experimento de Bernoulli tiene solo dos resultados, que se llaman éxito y fracaso aunque no sean ni buenos ni malos: encestar o fallar un tiro libre, que una pieza salga defectuosa o no, acertar o no una pregunta de un test. La probabilidad de éxito es p y la de fracaso, q = 1 − p.

Si el experimento se repite n veces en las mismas condiciones y ninguna repetición influye en las demás, el número de éxitos, X, sigue una distribución binomial B(n; p). Es una variable discreta: solo toma los valores 0, 1, 2… hasta n. Antes de usar la fórmula hay que comprobar las dos condiciones. Al sacar bolas de una urna sin devolverlas, la probabilidad cambia en cada extracción y la variable no es binomial; con devolución, sí.

La fórmula de la binomial

Cada forma concreta de conseguir k éxitos en n pruebas (por ejemplo, éxito, éxito y fracaso) tiene la misma probabilidad: p multiplicado k veces por q multiplicado n − k veces, porque las pruebas son independientes y sus probabilidades se multiplican. Lo que cambia de una forma a otra es el orden, y hay tantos órdenes como maneras de elegir en qué k pruebas caen los éxitos: el número combinatorio (n sobre k). El árbol de tres pruebas lo enseña: tres caminos tienen exactamente dos éxitos.

El número combinatorio se calcula con factoriales o con la tecla nCr de la calculadora científica. Para B(10; 0,3), la probabilidad de exactamente 3 éxitos es (10 sobre 3) · 0,3³ · 0,7⁷ = 120 · 0,027 · 0,0823543 ≈ 0,2668.

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Media, varianza y desviación típica

La media o esperanza de una binomial es μ = n · p, el número de éxitos que cabe esperar: si el 30 % de los clientes que entran en una tienda compra algo, de cada 10 clientes cabe esperar 3 compras. No quiere decir que vayan a ser 3 siempre, sino que es el centro alrededor del que se reparten los resultados.

La varianza es σ² = n · p · q y la desviación típica, su raíz. En B(10; 0,3), σ² = 2,1 y σ ≈ 1,4491. El diagrama de barras lo enseña: las barras más altas rodean a la media y, si p no es 0,5, la distribución no es simétrica.

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«Al menos», «como mucho» y «menos de»

Casi ningún problema pide un valor suelto, sino un tramo: se suman las probabilidades de cada valor del tramo. Lo delicado es traducir el enunciado, porque X solo toma valores enteros: «menos de 3» no incluye el 3, es X ≤ 2.

Cuando el tramo tiene muchos valores, conviene pasar al suceso contrario, que tiene menos: «al menos uno» es 1 − P(X = 0), un término en vez de n. En B(10; 0,3), P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] ≈ 0,8507.

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Tabla de la binomial y calculadora

Muchos libros traen una tabla de la binomial con P(X = k) para n hasta 10 o 20 y p de 0,05 a 0,5. Para p mayor que 0,5 se usa la simetría: los éxitos con probabilidad p son los fracasos con probabilidad q, así que P(X = k) en B(n; p) es P(X = n − k) en B(n; q). En la PAU se suele calcular con la fórmula y la calculadora científica.

La calculadora de la binomial de esta web da P(X = k), las acumuladas y cualquier tramo con los pasos escritos, el diagrama de barras con lo que se suma resaltado y la tabla de la distribución entera, y compara el resultado con la aproximación por la normal.

Aproximación por la normal y corrección de Yates

Con n grande, sumar decenas de términos a mano es inviable. Si n · p ≥ 5 y n · q ≥ 5, la binomial se parece mucho a una normal con su misma media y su misma desviación típica, y se calcula con la tabla de la N(0, 1). Algunos libros piden además que n pase de 30: con las dos condiciones, la aproximación es todavía mejor.

Al pasar de una variable que solo toma enteros a una continua se hace la corrección de Yates, o por continuidad: cada valor entero k ocupa en la normal el tramo de k − 0,5 a k + 0,5. Así, P(X ≤ 35) se calcula como P(X′ ≤ 35,5), P(X ≥ 34) como P(X′ ≥ 33,5) y P(X = 30) como P(29,5 ≤ X′ ≤ 30,5), porque en la normal un valor suelto tiene probabilidad 0.

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