Calculadora de la distribución binomial
P(X = k), «como mucho», «al menos», «más de» y cualquier tramo, con la fórmula y los pasos como en el cuaderno, la media y la desviación típica, el diagrama de barras y la comparación con la normal.
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Datos de la binomial B(n; p)
P(X ≤ 3) ≈ 0,6496Ver los pasos
Resultado
P(X ≤ 3) ≈ 0,6496
- En porcentaje 64,96 %
- Distribución X ~ B(10; 0,3)
- Media y desviación típica μ = 3; σ ≈ 1,4491
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|
Ejemplos para probar
Ejercicios de la distribución binomial para imprimir
Problemas con contexto (vuelos con retraso, semillas, tests al azar, piezas defectuosas…) de P(X = k), «al menos» y «como mucho», media y desviación típica, y aproximación por la normal, con el solucionario paso a paso. Cada versión sale con otros datos.
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La teoría, con ejemplos resueltos, está en el tema de la distribución binomial. Para la normal, usa la tabla y calculadora de la normal, y para la probabilidad condicionada, el tema del teorema de Bayes.
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Cómo usar la calculadora
Escribe el número de pruebas, n, y la probabilidad de éxito, p, que puede ir como decimal (0,3), como fracción (1/6) o como porcentaje (30 %). Elige qué probabilidad quieres y escribe el valor de k (o los dos extremos del tramo). El resultado sale al momento; debajo están los pasos.
- Traducción del enunciado. Si el suceso dice «menos de» o «más de», el primer paso lo pasa a «como mucho» o «al menos», porque X solo toma valores enteros.
- Directo o por el contrario. Suma los valores del tramo o, si tiene menos términos, resta de 1 la probabilidad del contrario.
- La fórmula en cada término. Escribe el número combinatorio, las potencias y su valor cuando es corto, y redondea cada término solo para escribirlo.
- Media y desviación típica. μ = n · p y σ = √(n · p · q), con la raíz exacta cuando la tiene.
- Diagrama y tabla. Las barras resaltadas son las que se suman; la tabla da P(X = k), P(X ≤ k) y P(X ≥ k) de cada valor.
- Aproximación por la normal. Si n · p y n · q son al menos 5, repite el cálculo con la normal y la corrección de Yates y enseña cuánto se separa del valor exacto.
Ideas para usarla en clase
- ¿Binomial o no? Antes de calcular, que el alumnado diga qué es un éxito, cuánto valen n y p y por qué las pruebas son independientes.
- El atajo del contrario: calcula «al menos uno» sumando cada valor y por el contrario, y compara el número de términos.
- ¿Cuándo vale la normal? Con n = 20 y p = 0,1, la calculadora avisa de que no se cumple n · p ≥ 5; con n = 200, la normal casi coincide con la binomial. Que lo comprueben con la comparación de abajo.
- En la pizarra digital: en pantalla completa, cambia n o p y comenta cómo se mueven y se ensanchan las barras alrededor de la media.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se puede usar la distribución binomial?
Cuando se cuentan los éxitos en n pruebas que tienen solo dos resultados, la misma probabilidad de éxito p en todas y que no influyen unas en otras: tiros libres, piezas defectuosas de una muestra grande, respuestas al azar de un test, semillas que germinan. Si la probabilidad cambia de una prueba a otra (sacar bolas de una urna sin devolverlas), no es binomial.
¿Cómo calcula P(X = k)?
Con la fórmula de la binomial: el número combinatorio (n sobre k), que cuenta los órdenes posibles de los k éxitos, por p elevado a k y por q = 1 − p elevado a n − k. La calculadora escribe cada factor y redondea solo al final, con cuatro decimales, como en la PAU.
¿Qué diferencia hay entre «menos de 3» y «como mucho 3»?
«Como mucho 3» incluye el 3: P(X ≤ 3). «Menos de 3» no lo incluye y, como X solo toma valores enteros, es P(X ≤ 2). Igual con «al menos 3», P(X ≥ 3), y «más de 3», P(X ≥ 4). La calculadora escribe siempre la traducción en el primer paso.
¿Por qué a veces calcula «1 menos» algo?
Porque es más corto. «Al menos uno» en 10 pruebas son diez términos, del 1 al 10, pero su contrario, «ninguno», es uno solo: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Por defecto elige el camino con menos términos; con el botón «Sumando cada valor» puedes ver el otro y comprobar que da lo mismo.
¿Cuándo se aproxima por la normal?
Si n · p y n · q son al menos 5, la binomial se parece a una normal con su misma media, n · p, y su misma desviación típica, √(n · p · q). Al cambiar a una variable continua se hace la corrección de Yates: cada valor entero k es el tramo de k − 0,5 a k + 0,5. La calculadora hace la aproximación con la tabla y la compara con el valor exacto.
¿Es exacto el resultado?
Sí. Calcula con fracciones exactas, aunque n sea grande, y redondea solo al escribir. Si p es una fracción (1/6) y el resultado es una fracción corta, la da también como fracción.
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