Calculadora del teorema de Bayes
Escribe la probabilidad de cada causa y la de B en cada una: sale la probabilidad total, la probabilidad a posteriori de cada causa, el diagrama de árbol con el camino resaltado y los pasos con fracciones exactas.
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Datos del árbol
Las causas A₁, A₂… no pueden ocurrir a la vez y una ocurre seguro (sus probabilidades suman 1). B es lo que se observa. Vale un decimal (0,3), una fracción (1/6) o un porcentaje (30 %).
Suma de las P(Aᵢ): 1 ✓ (correcto)
P(A₂ | B) = 1/3 ≈ 0,3333Ver los pasos
Resultado
P(A₂ | B) = 1/3 ≈ 0,3333
Probabilidad de «Máquina 2» sabiendo que ocurre «Pieza defectuosa».
- Probabilidad total P(B) = 0,027
- Su contrario P abre paréntesis contrario de B cierra paréntesis igual a 0,973
| Causa | P(Ai) | Camino con B | Camino sin B | P(Ai | B) | P(Ai | Bc), sabiendo que no ocurre B |
|---|---|---|---|---|---|
| A₁ · Máquina 1 | 0,5 | 0,01 | 0,49 | ≈ 0,370410/27 | ≈ 0,503670/139 |
| A₂ · Máquina 2 | 0,3 | 0,009 | 0,291 | ≈ 0,33331/3 | ≈ 0,2991291/973 |
| A₃ · Máquina 3 | 0,2 | 0,008 | 0,192 | ≈ 0,29638/27 | ≈ 0,1973192/973 |
| Total | 1 | 0,027 | 0,973 | 1 | 1 |
Ejemplos para probar
Ejercicios del teorema de Bayes para imprimir
Problemas de probabilidad condicionada, tablas de contingencia, árboles con la probabilidad total y Bayes y pruebas diagnósticas, con contextos variados y el solucionario paso a paso. En el nivel básico, con el árbol o la tabla para completar.
Paso 1: Elige un punto de partida
Paso 2: Personaliza
Paso 3: Revisa y descarga
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La teoría, con ejemplos resueltos de tablas de contingencia, árboles y cribados, está en el tema del teorema de Bayes. Para las distribuciones, la calculadora de la binomial y la tabla de la normal.
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Cómo usar la calculadora
Piensa el problema como un árbol de dos etapas. En la primera están las causas (las máquinas, los almacenes, estar enfermo o sano), que no pueden ocurrir a la vez y suman 1. En la segunda, lo que se observa, B (pieza defectuosa, positivo, llegar tarde), con una probabilidad distinta en cada causa.
- Escribe las causas. De dos a cuatro, con su probabilidad. Si la última es «el resto», su probabilidad es 1 menos la suma de las demás: si no suman 1, la calculadora lo dice.
- Escribe P(B | A₁), P(B | A₂)… en cada causa. Es el porcentaje de B dentro de esa causa: el 3 % de las piezas de la máquina 2, el 95 % de positivos entre quienes tienen la enfermedad.
- Lee el árbol y la tabla. Cada camino es el producto de sus ramas; los que acaban en B suman la probabilidad total, y cada uno dividido entre ese total es la probabilidad a posteriori de su causa.
- Elige la causa y el resultado («sabiendo que ocurre B» o «que no ocurre») para ver los pasos de esa cuenta, como se escriben en el examen.
Ideas para usarla en clase
- Antes de calcular, apostar: en el ejemplo del cribado, que el alumnado estime la probabilidad de estar enfermo tras un positivo; casi nadie dice menos del 10 %.
- Cambiar la prevalencia: con un 10 % o un 30 %, ¿cuánto sube la probabilidad a posteriori? Es la razón por la que un positivo se confirma con otra prueba.
- Árbol y tabla: los caminos del árbol son las casillas de una tabla de contingencia de probabilidades; que la construyan a partir de la de la calculadora.
- En la pizarra digital: en pantalla completa, cambia una rama y comenta cómo se mueven el total y las a posteriori.
Preguntas frecuentes
¿Qué calcula el teorema de Bayes?
La probabilidad de una causa cuando ya se sabe el resultado: de qué máquina salió una pieza que es defectuosa, si una persona que ha dado positivo tiene de verdad la enfermedad. Se divide el camino del árbol de esa causa entre la suma de todos los caminos que llevan al resultado.
¿Qué datos hay que escribir?
La probabilidad de cada causa, que tienen que sumar 1 porque una de ellas ocurre seguro, y la probabilidad de B dentro de cada causa: la del porcentaje de piezas defectuosas de cada máquina, la de dar positivo si se está enfermo o si no. Valen decimales, fracciones y porcentajes.
¿Qué es la probabilidad total?
La probabilidad de B sin saber la causa: la suma de los productos P(A₁) · P(B | A₁) + P(A₂) · P(B | A₂) + …, uno por cada camino del árbol que acaba en B. Es el denominador del teorema de Bayes.
¿Qué son la probabilidad a priori y a posteriori?
La a priori es la de cada causa antes de saber nada, P(A₁). La a posteriori, la de esa causa cuando ya se sabe el resultado, P(A₁ | B). La tabla de la calculadora pone las dos una al lado de la otra para ver cuánto cambia.
¿Por qué una prueba tan fiable puede dar tantos falsos positivos?
Si lo que se busca es poco frecuente, los pocos casos verdaderos dan pocos positivos y la gran mayoría de casos negativos, aunque se equivoque poco con cada uno, da muchos falsos positivos. Prueba el ejemplo del cribado: con un 1 % de prevalencia, un positivo solo es enfermedad en menos del 9 % de los casos.
¿Da los resultados con fracciones?
Sí. Calcula con fracciones exactas y, si el resultado tiene un decimal largo, da también la fracción (10/19 ≈ 0,5263), como se hace en el examen.
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