Determinante de una matriz: regla de Sarrus, adjuntos y propiedades
El determinante es un número asociado a cada matriz cuadrada: en orden 3 se calcula por Sarrus y en orden 4, por adjuntos. Si vale 0, no hay inversa.
Qué es el determinante
El determinante de una matriz cuadrada A es un número que se escribe |A| o det(A), con la matriz entre barras. Dice mucho de ella: si |A| ≠ 0, la matriz tiene inversa y sus filas son independientes (su rango es máximo); si |A| = 0, ninguna de las dos cosas.
En orden 2 se calcula restando al producto de la diagonal principal el de la secundaria. Su valor absoluto es, además, el área del paralelogramo que forman las dos filas como vectores: por eso vale 0 cuando las filas son proporcionales.
Regla de Sarrus (orden 3)
Un determinante de orden 3 tiene seis productos de tres factores, uno de cada fila y de cada columna. La regla de Sarrus los ordena para no olvidar ninguno: suman la diagonal principal y los dos triángulos que tienen un lado paralelo a ella, y restan la diagonal secundaria y sus dos triángulos.
En el cuaderno conviene escribir los seis productos con los factores negativos entre paréntesis, (−1) · 3 · 1, y sumar aparte los de signo + y los de signo −. La regla solo vale para orden 3: un determinante de orden 4 tiene 24 productos y se calcula de otra manera.
Desarrollo por adjuntos
El menor complementario de un elemento es el determinante que queda al tachar su fila y su columna. Su adjunto es ese menor con el signo de la posición: + donde la fila más la columna es par y − donde es impar, como un tablero de ajedrez que empieza por + arriba a la izquierda.
Un determinante es igual a la suma de los elementos de una fila (o de una columna) multiplicados por sus adjuntos. Se elige la línea con más ceros, porque esos términos no hace falta calcularlos. En orden 4, primero se hacen ceros en una columna (sumar a una fila otra multiplicada por un número no cambia el determinante) y se desarrolla por ella: queda un solo determinante de orden 3.
Propiedades de los determinantes
Las propiedades ahorran cuentas y salen en casi todos los exámenes de la PAU, donde se da |A| y se pide el de otra matriz sin conocer A:
- Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante.
- Si se intercambian dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.
- Si una fila es de ceros, o dos filas son iguales o proporcionales, el determinante vale 0.
- Si se multiplica una fila por k, el determinante queda multiplicado por k. Por eso, en orden n, |kA| = kⁿ · |A|.
- Sumar a una fila otra multiplicada por un número no cambia el determinante: es lo que permite hacer ceros.
- El determinante de un producto es el producto de los determinantes, |A · B| = |A| · |B|, y |A⁻¹| = 1/|A|.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Calcula por la regla de Sarrus determinante de A igual a determinante de 3 por 3: fila 1, 2, 1 y menos 1; fila 2, 0, 3 y 2; fila 3, 1, menos 2 y 4
Regla de Sarrus: se suman los productos de la diagonal principal y de los dos triángulos que tienen un lado paralelo a ella, y se restan los de la diagonal secundaria y sus dos triángulos.
Productos con signo + (diagonal principal y sus dos triángulos):
2 por 3 por 4 más 1 por 2 por 1 más abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 0 por abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis igual a 24 más 2 más 0 igual a 26
Productos con signo − (diagonal secundaria y sus dos triángulos):
abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 3 por 1 más 2 por 2 por abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis más 1 por 0 por 4 igual a menos 3 menos 8 más 0 igual a menos 11
Restamos la segunda suma de la primera:
determinante de A igual a 26 menos abre paréntesis menos 11 cierra paréntesis igual a 37
Solución determinante de A igual a 37
Ejemplo 2: Calcula el determinante de orden 4 determinante de A igual a determinante de 4 por 4: fila 1, 1, 2, 0 y 1; fila 2, 2, 1, 1 y 0; fila 3, 0, 1, 3 y 1; fila 4, 1, 0, 2 y 2
Para no calcular cuatro determinantes de orden 3, hacemos ceros en la columna 1 con el pivote de la fila 1. Sumar a una fila otra multiplicada por un número no cambia el determinante: F₂ → F₂ − 2F₁ y F₄ → F₄ − F₁.
determinante de A igual a determinante de 4 por 4: fila 1, 1, 2, 0 y 1; fila 2, 2, 1, 1 y 0; fila 3, 0, 1, 3 y 1; fila 4, 1, 0, 2 y 2 igual a determinante de 4 por 4: fila 1, 1, 2, 0 y 1; fila 2, 0, menos 3, 1 y menos 2; fila 3, 0, 1, 3 y 1; fila 4, 0, menos 2, 2 y 1
Desarrollamos por los adjuntos de la columna 1, la que tiene más ceros: un término con un 0 vale 0 y no hace falta calcular su adjunto. El adjunto de cada elemento es su menor complementario (el determinante que queda al tachar su fila y su columna) con el signo de su posición: + si la fila más la columna es par y − si es impar.
determinante de A igual a a sub 11 por A sub 11 más a sub 21 por A sub 21 más a sub 31 por A sub 31 más a sub 41 por A sub 41
el adjunto A sub i j es igual a menos 1 elevado a i más j, por el menor complementario alfa sub i j
Adjunto de a₁₁ = 1: tachamos la fila 1 y la columna 1 y calculamos el menor complementario.
A sub 11 igual a abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis elevado a 1 más 1, por determinante de 3 por 3: fila 1, menos 3, 1 y menos 2; fila 2, 1, 3 y 1; fila 3, menos 2, 2 y 1
Productos con signo + (diagonal principal y sus dos triángulos):
abre paréntesis menos 3 cierra paréntesis por 3 por 1 más 1 por 1 por abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis más abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis por 1 por 2 igual a menos 9 menos 2 menos 4 igual a menos 15
Productos con signo − (diagonal secundaria y sus dos triángulos):
abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis por 3 por abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis más abre paréntesis menos 3 cierra paréntesis por 1 por 2 más 1 por 1 por 1 igual a 12 menos 6 más 1 igual a 7
Restamos la segunda suma de la primera:
α₁₁ = −15 − 7 = −22
El signo de su posición es +:
A₁₁ = α₁₁ = −22
Sustituimos en el desarrollo:
determinante de A igual a 1 por abre paréntesis menos 22 cierra paréntesis igual a menos 22
Solución determinante de A igual a menos 22
Ejemplo 3: ¿Para qué valores de a vale 0 el determinante determinante de A igual a determinante de 3 por 3: fila 1, a, 2 y 1; fila 2, 2, a y 1; fila 3, 1, 1 y 1 ?
Calculamos |A| por la regla de Sarrus (seis productos: tres con signo + y tres con signo −):
= a · a · 1 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 − 1 · a · 1 − a · 1 · 1 − 2 · 2 · 1
Desarrollamos cada producto y agrupamos:
= a² + 2 + 2 − a − a − 4 = a² − 2a
Resolvemos a² − 2a = 0:
El término independiente es 0: sacamos factor común a, así que a = 0 es raíz.
P(a) = a(a − 2)
Factorización:
P(a) = a(a − 2)
Raíces: a = 0; a = 2.
determinante de A igual a a abre paréntesis a menos 2 cierra paréntesis igual a 0 equivale a a igual a 0 o a igual a 2
Solución a = 0 o a = 2
Errores frecuentes
- Aplicar la regla de Sarrus a un determinante de orden 4: solo vale para orden 3.
- Olvidar el signo de la posición en un adjunto: en la fila 1 y la columna 2, el menor complementario va con signo menos.
- Creer que |2A| = 2|A|: al multiplicar la matriz por 2 se multiplican todas sus filas, y en orden 3 queda 2³ · |A| = 8|A|.
- Restar solo el primero de los productos con signo − en Sarrus: los tres (la diagonal secundaria y sus dos triángulos) se restan todos, así que conviene sumarlos aparte y restar el total.
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 nombra los determinantes en Matemáticas II, de 2.º de Bachillerato, junto con las operaciones con matrices y la resolución de sistemas. En Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II no aparecen. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos
D. Sentido algebraico
- Pensamiento computacional: Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices, los determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
A. Sentido numérico
- Sentido de las operaciones: Estrategias para operar con números reales, vectores y matrices: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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