Matrices: tipos, operaciones, multiplicación y rango
Una matriz es una tabla de números en filas y columnas. Se suma elemento a elemento, se multiplica fila por columna y su rango cuenta las filas independientes.
Apartados del tema (5)
Qué es una matriz y cómo se nombra
Una matriz de dimensión m × n es una tabla de números ordenados en m filas y n columnas, escrita entre paréntesis. Se nombra con una letra mayúscula y cada elemento con la minúscula y dos subíndices: a₂₃ es el que está en la fila 2 y la columna 3 (primero la fila, siempre).
Una matriz sirve para guardar datos que se leen en dos direcciones: los coeficientes de un sistema de ecuaciones, las ventas de varias tiendas en varios meses o las conexiones de un grafo. Según su forma y sus números, tiene nombre propio:
- Fila (una sola fila) y columna (una sola columna).
- Cuadrada: tantas filas como columnas. Su diagonal principal es a₁₁, a₂₂, a₃₃…
- Nula (O): todos sus elementos son 0. Diagonal: es cuadrada y todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0.
- Identidad I: diagonal con unos. Hace en el producto lo que el 1 con los números: A · I = I · A = A.
- Triangular: es cuadrada y tiene todo ceros por debajo (o por encima) de la diagonal principal. Simétrica: coincide con su traspuesta.
Suma, resta y producto por un número
Dos matrices se suman o se restan si tienen la misma dimensión, y se hace elemento a elemento: cada número con el que ocupa su mismo lugar en la otra. La suma es conmutativa y asociativa, y la matriz nula hace de cero.
Para multiplicar una matriz por un número, se multiplica cada uno de sus elementos. Así, 2A − 3B se calcula en tres cuentas: primero 2A, después 3B, y al final la resta elemento a elemento.
Multiplicación de matrices: fila por columna
El producto A · B solo existe si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. El resultado tiene las filas de A y las columnas de B: una de 2 × 3 por una de 3 × 4 da una de 2 × 4. El elemento del producto que está en la fila i y la columna j es la fila i de A por la columna j de B: se multiplican los números uno a uno y se suman.
El producto de matrices no es conmutativo: A · B y B · A pueden ser distintas, o una puede existir y la otra no. Por eso, al despejar en una igualdad con matrices, importa si se multiplica por la izquierda o por la derecha.
Traspuesta y potencias
La traspuesta de una matriz se obtiene cambiando filas por columnas: la fila 1 pasa a ser la columna 1, y así con todas. Una matriz de 2 × 3 da una traspuesta de 3 × 2. La traspuesta de un producto cambia el orden de los factores.
Las potencias solo existen para matrices cuadradas: A² = A · A, A³ = A² · A… Un ejercicio clásico es calcular unas cuantas potencias, encontrar el patrón y deducir una potencia muy alta: hay matrices cuyas potencias se repiten cada cierto número de pasos y otras (las nilpotentes) que acaban en la matriz nula.
Rango de una matriz
El rango de una matriz, rg(A), es el número de filas linealmente independientes, es decir, que no se pueden obtener sumando múltiplos de las otras. Coincide con el número de columnas independientes, así que nunca pasa del menor entre el número de filas y el de columnas.
Por el método de Gauss, se escalona la matriz con transformaciones de filas (cambiar dos filas de orden, multiplicar una por un número distinto de 0 y sumarle a una fila un múltiplo de otra), que no cambian el rango, y se cuentan las filas que no son todo ceros. También se puede calcular con determinantes: es el orden del mayor menor que no vale 0.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Calcula A · B y B · A con A igual a matriz de 2 por 3: fila 1, 1, 0 y 2; fila 2, menos 1, 3 y 1 y B igual a matriz de 3 por 2: fila 1, 3 y 1; fila 2, 2 y 1; fila 3, 1 y 0
A es de 2 × 3 y B es de 3 × 2: el número de columnas de A (3) coincide con el de filas de B, así que el producto existe y es de 2 × 2 (las filas de A por las columnas de B).
A por B igual a matriz de 2 por 3: fila 1, 1, 0 y 2; fila 2, menos 1, 3 y 1 por matriz de 3 por 2: fila 1, 3 y 1; fila 2, 2 y 1; fila 3, 1 y 0
Fila 1 de A por cada columna de B:
c sub 11 igual a 1 por 3 más 0 por 2 más 2 por 1 igual a 5; c sub 12 igual a 1 por 1 más 0 por 1 más 2 por 0 igual a 1
Fila 2 de A por cada columna de B:
c sub 21 igual a abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 3 más 3 por 2 más 1 por 1 igual a 4; c sub 22 igual a abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 1 más 3 por 1 más 1 por 0 igual a 2
Resultado:
A por B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 5 y 1; fila 2, 4 y 2
B es de 3 × 2 y A es de 2 × 3: el número de columnas de B (2) coincide con el de filas de A, así que el producto existe y es de 3 × 3 (las filas de B por las columnas de A).
B por A igual a matriz de 3 por 2: fila 1, 3 y 1; fila 2, 2 y 1; fila 3, 1 y 0 por matriz de 2 por 3: fila 1, 1, 0 y 2; fila 2, menos 1, 3 y 1
Fila 1 de B por cada columna de A:
c sub 11 igual a 3 por 1 más 1 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis igual a 2; c sub 12 igual a 3 por 0 más 1 por 3 igual a 3; c sub 13 igual a 3 por 2 más 1 por 1 igual a 7
Fila 2 de B por cada columna de A:
c sub 21 igual a 2 por 1 más 1 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis igual a 1; c sub 22 igual a 2 por 0 más 1 por 3 igual a 3; c sub 23 igual a 2 por 2 más 1 por 1 igual a 5
Fila 3 de B por cada columna de A:
c sub 31 igual a 1 por 1 más 0 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis igual a 1; c sub 32 igual a 1 por 0 más 0 por 3 igual a 0; c sub 33 igual a 1 por 2 más 0 por 1 igual a 2
Resultado:
B por A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 2, 3 y 7; fila 2, 1, 3 y 5; fila 3, 1, 0 y 2
Solución A por B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 5 y 1; fila 2, 4 y 2; B por A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 2, 3 y 7; fila 2, 1, 3 y 5; fila 3, 1, 0 y 2
Ejemplo 2: Calcula 2A − B con A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 2 y menos 1; fila 2, 0 y 3 y B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y 4; fila 2, menos 2 y 1
Se multiplica cada elemento de A por el número.
2 por A igual a 2 por matriz de 2 por 2: fila 1, 2 y menos 1; fila 2, 0 y 3
igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 2 por 2 y 2 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis; fila 2, 2 por 0 y 2 por 3 igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 4 y menos 2; fila 2, 0 y 6
Las dos son de 2 × 2: se restan elemento a elemento (cada número con el que ocupa su mismo lugar).
2A menos B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 4 y menos 2; fila 2, 0 y 6 menos matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y 4; fila 2, menos 2 y 1
igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 4 menos 1 y menos 2 menos 4; fila 2, 0 menos abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis y 6 menos 1 igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 6; fila 2, 2 y 5
Solución 2A menos B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 6; fila 2, 2 y 5
Ejemplo 3: Calcula por Gauss el rango de A igual a matriz de 3 por 4: fila 1, 1, 2, menos 1 y 3; fila 2, 2, menos 1, 1 y 0; fila 3, 3, 1, 0 y 3
Escalonamos A por Gauss: las transformaciones de filas no cambian el rango.
Hacemos ceros debajo del pivote de la primera columna: F₂ → F₂ − 2F₁ y F₃ → F₃ − 3F₁.
matriz de 3 por 4: fila 1, 1, 2, menos 1 y 3; fila 2, 0, menos 5, 3 y menos 6; fila 3, 0, menos 5, 3 y menos 6
Hacemos ceros debajo del pivote de la segunda columna: F₃ → F₃ − F₂.
matriz de 3 por 4: fila 1, 1, 2, menos 1 y 3; fila 2, 0, menos 5, 3 y menos 6; fila 3, 0, 0, 0 y 0
La matriz escalonada tiene dos filas que no son todo ceros (y una de ceros): ese es el rango.
rango de A igual a 2
Solución rango de A igual a 2
Errores frecuentes
- Multiplicar elemento a elemento, como en la suma: el producto de matrices es fila por columna, y en general A · B no es igual a B · A.
- Multiplicar dos matrices sin mirar sus dimensiones: el número de columnas de la primera tiene que ser el de filas de la segunda.
- Desarrollar (A + B)² como A² + 2AB + B²: como AB y BA no suelen coincidir, es A² + AB + BA + B².
- Contar como independientes filas que solo son distintas a la vista: una fila que es suma de otras dos no aumenta el rango.
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En qué cursos se ve
Las matrices son saberes de Matemáticas II y de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, de 2.º de Bachillerato (Real Decreto 243/2022): operar con ellas, conocer sus propiedades y usarlas para escribir y resolver sistemas de ecuaciones. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
A. Sentido numérico
- Sentido de las operaciones: Adición y producto de vectores y matrices: interpretación, comprensión y uso adecuado de las propiedades.
- Sentido de las operaciones: Estrategias para operar con números reales, vectores y matrices: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.
- Relaciones: Conjuntos de vectores y matrices: estructura, comprensión y propiedades.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
A. Sentido numérico
- Sentido de las operaciones: Adición y producto de matrices: interpretación, comprensión y aplicación adecuada de las propiedades.
- Relaciones: Conjuntos de matrices: estructura, comprensión y propiedades.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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