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Sistemas de ecuaciones lineales: Gauss, Cramer y Rouché-Frobenius

Un sistema lineal se resuelve con su matriz ampliada por Gauss o por Cramer, y el teorema de Rouché-Frobenius dice si tiene una solución, infinitas o ninguna.

Calculadora de matrices

Ver el ejemplo 1 resuelto

Matemáticas · 1.º y 2.º de Bachillerato

Apartados del tema (5)

El sistema escrito con matrices

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se escribe A · X = b: A es la matriz de coeficientes, X la columna de las incógnitas y b la de los términos independientes. La matriz ampliada A* = (A |⁠ b) añade a A la columna b tras una barra, y es con la que se trabaja en el método de Gauss.

Los sistemas de dos ecuaciones por sustitución, igualación y reducción son de la ESO y tienen su propio tema, enlazado al final de esta página. Aquí se ven los métodos de Bachillerato, que sirven para tres o más incógnitas y para estudiar cuántas soluciones hay.

A · X = b(a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃) · (x; y; z) = (b₁; b₂; b₃)

Apartados del tema

El método de Gauss

Consiste en escalonar la matriz ampliada: hacer ceros debajo de la diagonal, columna a columna, con transformaciones de filas que no cambian las soluciones (cambiar dos filas de orden, multiplicar una por un número distinto de 0 y sumarle a una fila un múltiplo de otra). La transformación se aplica a la fila entera, también al número que está tras la barra.

Con el sistema escalonado se despeja de abajo arriba: la última ecuación da una incógnita, la penúltima otra, y así. Si aparece una fila 0 = 0, esa ecuación sobraba; si aparece 0 = k con k distinto de 0, el sistema no tiene solución. Para no arrastrar fracciones, en el cuaderno se combinan las filas con números enteros, como F₃ → 2F₃ − 3F₁.

La regla de Cramer

Sirve para sistemas con tantas ecuaciones como incógnitas y determinante de la matriz de coeficientes distinto de 0. Cada incógnita es un cociente de determinantes: arriba, el de A con la columna de esa incógnita cambiada por la de los términos independientes; abajo, |A|.

Si |A|⁠ = 0, la regla no se puede aplicar: el sistema no tiene solución única y hay que estudiarlo por rangos o por Gauss.

Cramerx igual al determinante de A sub x entre el determinante de A; igual para y y para z

Apartados del tema

El teorema de Rouché-Frobenius

Compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada, y el número de incógnitas n:

  • rg(A) = rg(A*) = n: sistema compatible determinado (SCD), con una única solución.
  • rg(A) = rg(A*) < n: compatible indeterminado (SCI), con infinitas soluciones que dependen de n − rg(A) parámetros.
  • rg(A) ≠ rg(A*): incompatible (SI), sin solución.

Discutir un sistema con un parámetro, como en la PAU

Cuando un coeficiente es una letra, por ejemplo a, se discute el sistema según sus valores. En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se calcula |A| en función de a y se buscan los valores que lo anulan (con Ruffini, si sale de grado 3). Para todos los demás valores, |A|⁠ ≠ 0 y el sistema es compatible determinado.

Cada valor que anula |A| se estudia por separado: se sustituye en la matriz ampliada y se calculan rg(A) y rg(A*), normalmente orlando un menor de orden 2 distinto de 0 con la columna de los términos independientes. Si coinciden, el sistema es compatible indeterminado y se resuelve con tantos parámetros como incógnitas menos el rango (uno si el rango es 2, dos si es 1); si no, es incompatible.

Ejemplos resueltos paso a paso

  1. Ejemplo 1: Resuelve por el método de Gauss: Sistema: x + 2y − z = 3; 2x − y + z = 2; 3x + y + 2z = 9

    1. Escribimos la matriz ampliada A* = (A |⁠ b): los coeficientes de x, y y z y, tras la barra, los términos independientes.

      A* igual a matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 2 y menos 1, tras la barra, 3; fila 2, 2, menos 1 y 1, tras la barra, 2; fila 3, 3, 1 y 2, tras la barra, 9

    2. Hacemos ceros debajo del pivote de la primera columna: F₂ → F₂ − 2F₁ y F₃ → F₃ − 3F₁.

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 2 y menos 1, tras la barra, 3; fila 2, 0, menos 5 y 3, tras la barra, menos 4; fila 3, 0, menos 5 y 5, tras la barra, 0

    3. Simplificamos: F₃ → F₃ : 5 (todos sus números tienen ese divisor común).

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 2 y menos 1, tras la barra, 3; fila 2, 0, menos 5 y 3, tras la barra, menos 4; fila 3, 0, menos 1 y 1, tras la barra, 0

    4. Intercambiamos F₂ y F₃ para tener un −1 como pivote (las cuentas salen sin fracciones).

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 2 y menos 1, tras la barra, 3; fila 2, 0, menos 1 y 1, tras la barra, 0; fila 3, 0, menos 5 y 3, tras la barra, menos 4

    5. Hacemos ceros debajo del pivote de la segunda columna: F₃ → F₃ − 5F₂.

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 2 y menos 1, tras la barra, 3; fila 2, 0, menos 1 y 1, tras la barra, 0; fila 3, 0, 0 y menos 2, tras la barra, menos 4

    6. Simplificamos: F₃ → F₃ : 2 (todos sus números tienen ese divisor común).

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 2 y menos 1, tras la barra, 3; fila 2, 0, menos 1 y 1, tras la barra, 0; fila 3, 0, 0 y menos 1, tras la barra, menos 2

    7. rg(A) = rg(A*) = 3, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado (una única solución).

      rango de A igual a 3; rango de la matriz ampliada igual a 3 implica SCD

    8. El sistema escalonado equivalente es:

      Sistema: x + 2y − z = 3; −y + z = 0; −z = −2

    9. De la tercera ecuación despejamos z:

      −z = −2 ⇒ z = 2

    10. De la segunda ecuación, sustituyendo z, despejamos y:

      −y + z = 0 ⇒ −y + 2 = 0 ⇒ −y = −2 ⇒ y = 2

    11. De la primera ecuación, sustituyendo y y z, despejamos x:

      x + 2y − z = 3 ⇒ x + 2 · 2 − 2 = 3 ⇒ x = 1

    12. Sustituimos la solución en las ecuaciones de partida:

      1 + 2 · 2 − 2 = 3

    13. 2 · 1 − 2 + 2 = 2

    14. 3 · 1 + 2 + 2 · 2 = 9

    Solución x = 1, y = 2, z = 2

  2. Ejemplo 2: Resuelve por la regla de Cramer: Sistema: 2x + y + z = 7; x − y + 2z = 5; 3x + 2y − z = 4

    1. Para aplicar Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes tiene que ser distinto de 0.

      A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 2, 1 y 1; fila 2, 1, menos 1 y 2; fila 3, 3, 2 y menos 1

    2. Regla de Sarrus: se suman los productos de la diagonal principal y de los dos triángulos que tienen un lado paralelo a ella, y se restan los de la diagonal secundaria y sus dos triángulos.

      determinante de A igual a determinante de 3 por 3: fila 1, 2, 1 y 1; fila 2, 1, menos 1 y 2; fila 3, 3, 2 y menos 1

    3. Productos con signo + (diagonal principal y sus dos triángulos):

      2 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis más 1 por 2 por 3 más 1 por 1 por 2 igual a 2 más 6 más 2 igual a 10

    4. Productos con signo − (diagonal secundaria y sus dos triángulos):

      1 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 3 más 2 por 2 por 2 más 1 por 1 por abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis igual a menos 3 más 8 menos 1 igual a 4

    5. Restamos la segunda suma de la primera:

      determinante de A igual a 10 menos 4 igual a 6

    6. |A|⁠ ≠ 0: rg(A) = rg(A*) = 3, el sistema es compatible determinado y podemos usar Cramer.

    7. Para x, cambiamos la primera columna de A por la de los términos independientes:

      determinante de 3 por 3: fila 1, 7, 1 y 1; fila 2, 5, menos 1 y 2; fila 3, 4, 2 y menos 1 igual a 7 más 8 más 10 más 4 menos 28 más 5 igual a 6

    8. x igual a fracción de numerador determinante de A sub x y denominador determinante de A, igual a 6 partido por 6 igual a 1

    9. Para y, cambiamos la segunda columna de A por la de los términos independientes:

      determinante de 3 por 3: fila 1, 2, 7 y 1; fila 2, 1, 5 y 2; fila 3, 3, 4 y menos 1 igual a menos 10 más 42 más 4 menos 15 menos 16 más 7 igual a 12

    10. y igual a fracción de numerador determinante de A sub y y denominador determinante de A, igual a 12 partido por 6 igual a 2

    11. Para z, cambiamos la tercera columna de A por la de los términos independientes:

      determinante de 3 por 3: fila 1, 2, 1 y 7; fila 2, 1, menos 1 y 5; fila 3, 3, 2 y 4 igual a menos 8 más 15 más 14 más 21 menos 20 menos 4 igual a 18

    12. z igual a fracción de numerador determinante de A sub z y denominador determinante de A, igual a 18 partido por 6 igual a 3

    13. Sustituimos la solución en las ecuaciones de partida:

      2 · 1 + 2 + 3 = 7

    14. 1 − 2 + 2 · 3 = 5

    15. 3 · 1 + 2 · 2 − 3 = 4

    Solución x = 1, y = 2, z = 3

  3. Ejemplo 3: Discute según los valores de a y resuelve cuando sea compatible indeterminado: Sistema: x + y + az = 1; x + ay + z = 1; ax + y + z = 1

    1. Calculamos |A| por la regla de Sarrus (seis productos: tres con signo + y tres con signo −):

      determinante de A igual a determinante de 3 por 3: fila 1, 1, 1 y a; fila 2, 1, a y 1; fila 3, a, 1 y 1

    2. = 1 · a · 1 + 1 · 1 · a + a · 1 · 1 − a · a · a − 1 · 1 · 1 − 1 · 1 · 1

    3. Desarrollamos cada producto y agrupamos:

      = a + a + a − a³ − 1 − 1 = −a³ + 3a − 2

    4. Buscamos los valores de a que anulan |A|: resolvemos −a³ + 3a − 2 = 0.

    5. Sacamos factor común −1 para que el primer coeficiente sea positivo.

      P(a) = −(a³ − 3a + 2)

    6. Las posibles raíces enteras de a³ − 3a + 2 son los divisores del término independiente, 2: ±1, ±2.

    7. a = 1 es raíz porque el resto da 0. Dividimos por Ruffini entre a − 1:

      Tabla de Ruffini de la división entre x − 1
      Coeficientes10−32
      1 (productos)11−2
      Resultados11−20 (resto)

    8. Escribimos el factor y seguimos con el cociente (la misma raíz puede repetirse).

      P(a) = −(a − 1)(a² + a − 2)

    9. Para el factor de segundo grado buscamos sus raíces con la fórmula de la ecuación de segundo grado.

      a² + a − 2 = 0

    10. Calculamos el discriminante Δ = b² − 4ac.

      Δ = 1² − 4 · 1 · (−2) = 9

    11. Δ es positivo: hay dos raíces.

      a = (−1 ± √9)/(2 · 1) = (−1 ± 3)/2

    12. Separamos el signo + y el signo −.

      a₁ = 1; a₂ = −2

    13. Factorización:

      P(a) = −(a − 1)²(a + 2)

    14. Raíces: a = 1 (doble); a = −2.

    15. determinante de A igual a menos abre paréntesis a menos 1 cierra paréntesis al cuadrado abre paréntesis a más 2 cierra paréntesis igual a 0 equivale a a igual a menos 2 o a igual a 1

    16. Si a ≠ −2 y a ≠ 1, |A|⁠ ≠ 0: rg(A) = 3 = rg(A*) (A* tiene 3 filas) = número de incógnitas. Sistema compatible determinado.

    17. Sustituimos a = −2 en la matriz ampliada:

      A* igual a matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 1 y menos 2, tras la barra, 1; fila 2, 1, menos 2 y 1, tras la barra, 1; fila 3, menos 2, 1 y 1, tras la barra, 1

    18. Rango de A. Hay elementos distintos de 0 (por ejemplo, a₁₁), así que el rango de A es al menos 1.

      a sub 11 igual a 1 distinto de 0 implica rango de A mayor o igual que 1

    19. Orlamos con otra fila y otra columna: el menor de orden 2 de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 no vale 0.

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y menos 2 igual a 1 por abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis menos 1 por 1 igual a menos 3 distinto de 0 implica rango de A mayor o igual que 2

    20. Orlamos el menor de orden 2 con cada fila y cada columna que faltan. Filas 1, 2 y 3, columnas 1, 2 y 3:

      determinante de 3 por 3: fila 1, 1, 1 y menos 2; fila 2, 1, menos 2 y 1; fila 3, menos 2, 1 y 1 igual a menos 2 menos 2 menos 2 más 8 menos 1 menos 1 igual a 0

    21. Todos los menores de orden 3 que se obtienen orlando el de orden 2 valen 0: el rango es 2.

      rango de A igual a 2

    22. Rango de A*. Partimos del menor de orden 2 de A, que no vale 0, así que rg(A*) ≥ 2:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y menos 2 igual a 1 por abre paréntesis menos 2 cierra paréntesis menos 1 por 1 igual a menos 3 distinto de 0 implica rango de la matriz ampliada mayor o igual que 2

    23. Orlamos con otra fila y otra columna: el menor de orden 3 de las filas 1, 2 y 3 y las columnas 1, 2 y 4 no vale 0.

      determinante de 3 por 3: fila 1, 1, 1 y 1; fila 2, 1, menos 2 y 1; fila 3, menos 2, 1 y 1 igual a menos 2 menos 2 más 1 menos 4 menos 1 menos 1 igual a menos 9 distinto de 0 implica rango de la matriz ampliada mayor o igual que 3

    24. Ya no se puede orlar más (A* tiene 3 filas y 4 columnas):

      rango de la matriz ampliada igual a 3

    25. rg(A) = 2 ≠ rg(A*) = 3: para a = −2 el sistema es incompatible.

      rango de A igual a 2; rango de la matriz ampliada igual a 3 implica SI

    26. Sustituimos a = 1 en la matriz ampliada:

      A* igual a matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 1 y 1, tras la barra, 1; fila 2, 1, 1 y 1, tras la barra, 1; fila 3, 1, 1 y 1, tras la barra, 1

    27. Rango de A. Hay elementos distintos de 0 (por ejemplo, a₁₁), así que el rango de A es al menos 1.

      a sub 11 igual a 1 distinto de 0 implica rango de A mayor o igual que 1

    28. Orlamos el menor de orden 1 con cada fila y cada columna que faltan. Filas 1 y 2, columnas 1 y 2:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y 1 igual a 1 por 1 menos 1 por 1 igual a 0

    29. Filas 1 y 2, columnas 1 y 3:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y 1 igual a 1 por 1 menos 1 por 1 igual a 0

    30. Filas 1 y 3, columnas 1 y 2:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y 1 igual a 1 por 1 menos 1 por 1 igual a 0

    31. Filas 1 y 3, columnas 1 y 3:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y 1 igual a 1 por 1 menos 1 por 1 igual a 0

    32. Todos los menores de orden 2 que se obtienen orlando el de orden 1 valen 0: el rango es 1.

      rango de A igual a 1

    33. Rango de A*. Partimos del menor de orden 1 de A, que no vale 0, así que rg(A*) ≥ 1:

      a sub 11 igual a 1 distinto de 0 implica rango de la matriz ampliada mayor o igual que 1

    34. Orlamos el menor con la columna de los términos independientes y cada fila que falta (los orlados con columnas de A ya sabemos que valen 0). Filas 1 y 2, columnas 1 y 4:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y 1 igual a 1 por 1 menos 1 por 1 igual a 0

    35. Filas 1 y 3, columnas 1 y 4:

      determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 1 y 1 igual a 1 por 1 menos 1 por 1 igual a 0

    36. Todos los menores de orden 2 que se obtienen orlando el de orden 1 valen 0: el rango es 1.

      rango de la matriz ampliada igual a 1

    37. rg(A) = rg(A*) = 1 < 3 incógnitas: para a = 1 el sistema es compatible indeterminado.

      rango de A igual a 1; rango de la matriz ampliada igual a 1 implica SCI

    38. Hacemos ceros debajo del pivote de la primera columna: F₂ → F₂ − F₁ y F₃ → F₃ − F₁.

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 1 y 1, tras la barra, 1; fila 2, 0, 0 y 0, tras la barra, 0; fila 3, 0, 0 y 0, tras la barra, 0

    39. El sistema escalonado equivalente es:

      Sistema: x + y + z = 1

    40. Hay una ecuación con pivote y tres incógnitas: las incógnitas y y z no tienen pivote y hacen de parámetros.

      y = λ, z = μ

    41. De la primera ecuación, sustituyendo y y z, despejamos x:

      x + y + z = 1 ⇒ x + λ + μ = 1 ⇒ x = 1 − λ − μ

    42. Solución:

      x = 1 − λ − μ, y = λ, z = μ (λ, μ ∈ ℝ)

    Solución a ≠ −2 y a ≠ 1: compatible determinado; a = −2: incompatible; a = 1: compatible indeterminado, con x igual a 1 menos lambda menos mu, y igual a lambda, z igual a mu abre paréntesis lambda, mu pertenece a R cierra paréntesis

Calculadora de matricesDeterminante, inversa, rango, operaciones y sistemas con los pasosCalculadora de sistemas de ecuacionesSustitución, igualación, reducción y Gauss, paso a paso

Errores frecuentes

  • Aplicar la regla de Cramer con |A|⁠ = 0: solo vale para sistemas compatibles determinados.
  • Cambiar una ecuación sin cambiar su término independiente: en la matriz ampliada, la transformación se aplica a toda la fila, también tras la barra.
  • Dar como solución de un sistema compatible indeterminado un solo punto: hay infinitas soluciones y se escriben con parámetros, tantos como incógnitas menos el rango (con uno, z = λ; con dos, y = λ y z = μ).
  • En la discusión con parámetro, quedarse en el caso general: cada valor que anula |A| se estudia aparte, sustituyéndolo en el sistema.

Ponte a prueba

Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.

  1. 1. Un sistema con 3 incógnitas tiene rg(A) = 2 y rg(A*) = 3. ¿Cómo es?
  2. 2. Si rg(A) = rg(A*) = 2 y hay 3 incógnitas, ¿cuántos parámetros tiene la solución?
  3. 3. Al escalonar la matriz ampliada sale la fila (0 0 0 |⁠ 5). ¿Qué significa?
  4. 4. En la regla de Cramer, ¿qué se cambia en A para calcular y?
  5. 5. En un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas con un parámetro, |A|⁠ = (a − 1)(a + 2). ¿Para qué valores es seguro que es compatible determinado?

Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales para imprimir

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En qué cursos se ve

En 1.º de Bachillerato se plantean y se resuelven sistemas (Real Decreto 243/2022, Matemáticas I y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I), y con tres ecuaciones se usa el método de Gauss. En 2.º se añaden la escritura con matrices, la regla de Cramer y la discusión por rangos (Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.

Qué trabaja según el currículo

Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.

Matemáticas I · Bachillerato, 1.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas I, Bachillerato, 1.º

Saberes básicos · Matemáticas I, Bachillerato, 1.º

D. Sentido algebraico

  • Modelo matemático: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas: modelización de situaciones en diversos contextos.

Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Bachillerato, 1.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º

Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º

C. Sentido algebraico

  • Modelo matemático: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas: modelización de situaciones de las ciencias sociales y de la vida real.

Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas II · Bachillerato, 2.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º

Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º

D. Sentido algebraico

  • Modelo matemático: Técnicas y uso de matrices para, al menos, modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones lineales o grafos.
  • Igualdad y desigualdad: Resolución de sistemas de ecuaciones en diferentes contextos.
  • Pensamiento computacional: Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices, los determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º

Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º

C. Sentido algebraico

  • Modelo matemático: Técnicas y uso de matrices para, al menos, modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones lineales o grafos.
  • Pensamiento computacional: Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.

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    2.º a 4.º de ESOSecundaria en México

    Se busca el par (x, y) que cumple dos ecuaciones a la vez, eliminando una incógnita por sustitución, igualación o reducción.

    Calculadora de sistemas de ecuaciones

  • Matrices

    2.º de Bachillerato

    Una matriz es una tabla de números en filas y columnas. Se suma elemento a elemento, se multiplica fila por columna y su rango cuenta las filas independientes.

    Calculadora de matrices

  • Determinante de una matriz

    2.º de Bachillerato

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    Calculadora de matrices

  • Matriz inversa

    2.º de Bachillerato

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    Calculadora de matrices

Todos los temas de Matemáticas de la ESO y del BachilleratoMatemáticas de 1.º y 2.º de Bachillerato