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Matriz inversa: cómo se calcula por adjuntos y por Gauss-Jordan

La inversa de A es la matriz que, multiplicada por A, da la identidad. Solo existe si |A|⁠ ≠ 0, y se calcula por adjuntos o por el método de Gauss-Jordan.

Calculadora de matrices

Ver el ejemplo 1 resuelto

Matemáticas · 2.º de Bachillerato

Qué es la matriz inversa y cuándo existe

La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A⁻¹ que cumple A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I. Hace con las matrices lo que el inverso con los números (como 1/5 con el 5), pero no todas la tienen: existe solo si |A|⁠ ≠ 0. Una matriz con inversa se llama regular (o invertible) y una con determinante nulo, singular.

Si existe, es única, y cumple que la inversa de la inversa es la propia A y que la inversa de un producto es el producto de las inversas en orden contrario. Es la herramienta para despejar en las ecuaciones con matrices, donde no se puede dividir.

Productoinversa de A por B igual a inversa de B por inversa de A

Inversa por adjuntos

Es el método más usado en 2.º de Bachillerato para matrices de orden 2 y 3. Tiene cuatro pasos: el primero dice si la inversa existe y, al terminar, se comprueba que A · A⁻¹ = I.

  • Determinante: si |A|⁠ = 0, no hay inversa y se para aquí.
  • Matriz adjunta: se cambia cada elemento por su adjunto (su menor complementario con el signo de la posición).
  • Traspuesta de la adjunta: sus filas pasan a ser columnas.
  • División entre |A|: se multiplica la traspuesta de la adjunta por 1/|A|.
Fórmulala inversa de A es uno partido por el determinante de A por la traspuesta de la adjunta de A
Orden 2inversa de la matriz a, b; c, d: uno partido por a por d menos b por c, por la matriz d, menos b; menos c, a

Inversa por Gauss-Jordan

Se escribe la matriz A y, a su derecha, la identidad del mismo orden: (A |⁠ I). Con transformaciones de filas, las mismas del método de Gauss, se busca la identidad a la izquierda; lo que queda a la derecha es A⁻¹. Primero se hacen ceros debajo de la diagonal, luego encima, y al final se divide cada fila entre su pivote.

Si en la parte izquierda aparece una fila entera de ceros, la matriz no tiene inversa. Con matrices de orden 4 o mayores, Gauss-Jordan pide muchas menos cuentas que los adjuntos.

Esquemade la matriz A con la identidad a la derecha, a la identidad con la inversa de A a la derecha

Ecuaciones matriciales

Para despejar X en AX = B se multiplican los dos miembros por A⁻¹ por la izquierda: A⁻¹AX = A⁻¹B, y como A⁻¹A = I, queda X = A⁻¹ · B. En XA = B se multiplica por la derecha y sale X = B · A⁻¹. Como el producto no es conmutativo, el lado importa: las dos X suelen ser distintas.

Si hay más términos, primero se agrupan, como en una ecuación de números: AX + B = C da AX = C − B y X = A⁻¹ · (C − B). Si A no tiene inversa, este camino no sirve y la ecuación puede no tener solución o tener infinitas.

Por la izquierdaAX = B ⇒ X = A⁻¹ · B
Por la derechaXA = B ⇒ X = B · A⁻¹

Ejemplos resueltos paso a paso

  1. Ejemplo 1: Calcula la inversa de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 2 y 1; fila 2, 5 y 3

    1. El determinante de orden 2 es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria.

      determinante de A igual a determinante de 2 por 2: fila 1, 2 y 1; fila 2, 5 y 3 igual a 2 por 3 menos 1 por 5 igual a 6 menos 5 igual a 1

    2. Como |A|⁠ ≠ 0, A tiene inversa (es regular).

    3. Calculamos el adjunto de cada elemento: su menor complementario (el determinante que queda al tachar su fila y su columna) con el signo de su posición, que va alternando como en un tablero de ajedrez, con + en la diagonal principal.

      el adjunto A sub i j es igual a menos 1 elevado a i más j, por el menor complementario alfa sub i j

    4. Adjuntos de la fila 1:

      A₁₁ = 3; A₁₂ = −5

    5. Adjuntos de la fila 2:

      A₂₁ = −1; A₂₂ = 2

    6. Con todos ellos se forma la matriz adjunta:

      adjunta de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 5; fila 2, menos 1 y 2

    7. Trasponemos la adjunta: sus filas pasan a ser columnas.

      traspuesta de la adjunta de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2

    8. Multiplicamos la traspuesta de la adjunta por 1/|A|:

      inversa de A igual a 1 por matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2 igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2

    9. Comprobamos que A · A⁻¹ es la matriz identidad:

      A por inversa de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 2 y 1; fila 2, 5 y 3 por matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2 igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y 0; fila 2, 0 y 1 igual a I

    Solución inversa de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2

  2. Ejemplo 2: Calcula por adjuntos la inversa de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 1, 2 y 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, 2, 0 y 3

    1. Regla de Sarrus: se suman los productos de la diagonal principal y de los dos triángulos que tienen un lado paralelo a ella, y se restan los de la diagonal secundaria y sus dos triángulos.

      determinante de A igual a determinante de 3 por 3: fila 1, 1, 2 y 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, 2, 0 y 3

    2. Productos con signo + (diagonal principal y sus dos triángulos):

      1 por 1 por 3 más 2 por 0 por 2 más 1 por 0 por 0 igual a 3 más 0 más 0 igual a 3

    3. Productos con signo − (diagonal secundaria y sus dos triángulos):

      1 por 1 por 2 más 1 por 0 por 0 más 2 por 0 por 3 igual a 2 más 0 más 0 igual a 2

    4. Restamos la segunda suma de la primera:

      determinante de A igual a 3 menos 2 igual a 1

    5. Como |A|⁠ ≠ 0, A tiene inversa (es regular).

    6. Calculamos el adjunto de cada elemento: su menor complementario (el determinante que queda al tachar su fila y su columna) con el signo de su posición, que va alternando como en un tablero de ajedrez, con + en la diagonal principal.

      el adjunto A sub i j es igual a menos 1 elevado a i más j, por el menor complementario alfa sub i j

    7. Adjuntos de la fila 1:

      A sub 11 igual a más determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 0; fila 2, 0 y 3 igual a 1 por 3 menos 0 por 0 igual a 3; A sub 12 igual a menos determinante de 2 por 2: fila 1, 0 y 0; fila 2, 2 y 3 igual a menos abre paréntesis 0 por 3 menos 0 por 2 cierra paréntesis igual a 0; A sub 13 igual a más determinante de 2 por 2: fila 1, 0 y 1; fila 2, 2 y 0 igual a 0 por 0 menos 1 por 2 igual a menos 2

    8. Adjuntos de la fila 2:

      A sub 21 igual a menos determinante de 2 por 2: fila 1, 2 y 1; fila 2, 0 y 3 igual a menos abre paréntesis 2 por 3 menos 1 por 0 cierra paréntesis igual a menos 6; A sub 22 igual a más determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 2 y 3 igual a 1 por 3 menos 1 por 2 igual a 1; A sub 23 igual a menos determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 2; fila 2, 2 y 0 igual a menos abre paréntesis 1 por 0 menos 2 por 2 cierra paréntesis igual a 4

    9. Adjuntos de la fila 3:

      A sub 31 igual a más determinante de 2 por 2: fila 1, 2 y 1; fila 2, 1 y 0 igual a 2 por 0 menos 1 por 1 igual a menos 1; A sub 32 igual a menos determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 1; fila 2, 0 y 0 igual a menos abre paréntesis 1 por 0 menos 1 por 0 cierra paréntesis igual a 0; A sub 33 igual a más determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y 2; fila 2, 0 y 1 igual a 1 por 1 menos 2 por 0 igual a 1

    10. Con todos ellos se forma la matriz adjunta:

      adjunta de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 3, 0 y menos 2; fila 2, menos 6, 1 y 4; fila 3, menos 1, 0 y 1

    11. Trasponemos la adjunta: sus filas pasan a ser columnas.

      traspuesta de la adjunta de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 3, menos 6 y menos 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, menos 2, 4 y 1

    12. Multiplicamos la traspuesta de la adjunta por 1/|A|:

      inversa de A igual a 1 por matriz de 3 por 3: fila 1, 3, menos 6 y menos 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, menos 2, 4 y 1 igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 3, menos 6 y menos 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, menos 2, 4 y 1

    13. Comprobamos que A · A⁻¹ es la matriz identidad:

      A por inversa de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 1, 2 y 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, 2, 0 y 3 por matriz de 3 por 3: fila 1, 3, menos 6 y menos 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, menos 2, 4 y 1 igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 1, 0 y 0; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, 0, 0 y 1 igual a I

    Solución inversa de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 3, menos 6 y menos 1; fila 2, 0, 1 y 0; fila 3, menos 2, 4 y 1

  3. Ejemplo 3: Resuelve la ecuación AX = B con A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 2 y 1; fila 2, 5 y 3 y B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y 0; fila 2, 2 y 1

    1. Multiplicamos los dos miembros por A⁻¹ por la izquierda (el producto de matrices no es conmutativo: tiene que ser por el mismo lado en los dos miembros). Como A⁻¹ · A = I:

      inversa de A AX igual a inversa de A B implica X igual a inversa de A por B

    2. Para eso, A tiene que tener inversa: |A|⁠ ≠ 0.

    3. La inversa de A ya está calculada en el ejemplo 1:

      inversa de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2

    4. A⁻¹ es de 2 × 2 y B es de 2 × 2: el número de columnas de A⁻¹ (2) coincide con el de filas de B, así que el producto existe y es de 2 × 2 (las filas de A⁻¹ por las columnas de B).

      inversa de A por B igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y menos 1; fila 2, menos 5 y 2 por matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y 0; fila 2, 2 y 1

    5. Cada elemento del resultado es una fila de A⁻¹ por una columna de B: se multiplican los números uno a uno y se suman.

      igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 por 1 más abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 2 y 3 por 0 más abre paréntesis menos 1 cierra paréntesis por 1; fila 2, abre paréntesis menos 5 cierra paréntesis por 1 más 2 por 2 y abre paréntesis menos 5 cierra paréntesis por 0 más 2 por 1

    6. Resultado:

      X igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y menos 1; fila 2, menos 1 y 2

    7. Sustituimos X en la ecuación: A · X da B.

      A por X igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y 0; fila 2, 2 y 1

    Solución X igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y menos 1; fila 2, menos 1 y 2

Calculadora de matricesDeterminante, inversa, rango, operaciones y sistemas con los pasos

Errores frecuentes

  • Despejar X «dividiendo entre A»: entre matrices no hay división; se multiplica por A⁻¹, y por el mismo lado en los dos miembros.
  • Olvidar trasponer la matriz adjunta antes de dividir entre el determinante.
  • Dividir entre |A| sin comprobar antes que no vale 0: si |A|⁠ = 0, la matriz no tiene inversa.
  • Escribir X = B · A⁻¹ cuando la ecuación es AX = B: el producto no es conmutativo y X = A⁻¹ · B.

Ponte a prueba

Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.

  1. 1. ¿Cuál es la inversa de la matriz (2 1; 5 3)?
  2. 2. ¿Tiene inversa la matriz (1 2; 2 4)?
  3. 3. Si AX = B y A tiene inversa, ¿cuánto vale X?
  4. 4. Si |A|⁠ = 4, ¿cuánto vale el determinante de A⁻¹?
  5. 5. En el método de Gauss-Jordan, ¿qué se escribe al empezar?

Ejercicios de la matriz inversa para imprimir

Elige el nivel y el número de ejercicios: cada versión sale distinta y, con «Soluciones» marcado, lleva el solucionario en las últimas páginas. PDF en A4 o Carta y Word para editar.

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En qué cursos se ve

La matriz inversa forma parte de la estructura y las propiedades de las matrices en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, de 2.º de Bachillerato (Real Decreto 243/2022). El cálculo por adjuntos usa determinantes, que el Real Decreto nombra en Matemáticas II; el de Gauss-Jordan, solo transformaciones de filas. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.

Qué trabaja según el currículo

Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.

Matemáticas II · Bachillerato, 2.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º

Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º

A. Sentido numérico

  • Relaciones: Conjuntos de vectores y matrices: estructura, comprensión y propiedades.

D. Sentido algebraico

  • Pensamiento computacional: Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices, los determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º

Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º

A. Sentido numérico

  • Relaciones: Conjuntos de matrices: estructura, comprensión y propiedades.

Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.

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