Integral definida: regla de Barrow y cálculo de áreas
La integral definida de f entre a y b mide el área con signo que encierra su gráfica con el eje X. Se calcula con una primitiva: F(b) − F(a).
Apartados del tema (5)
Qué es la integral definida
Si f es continua y positiva en el intervalo [a, b], la integral definida de f entre a y b es el área del recinto que queda entre su gráfica, el eje X y las rectas verticales x = a y x = b. Se puede aproximar con rectángulos muy estrechos (las sumas de Riemann): cuantos más rectángulos, mejor la aproximación, y en el límite se obtiene el área exacta. De ahí el signo ∫, una S de «suma».
Si la función es negativa, los rectángulos cuentan con signo menos y la integral sale negativa. Por eso la integral definida es un área con signo: no siempre coincide con el área, y puede valer 0 aunque la gráfica encierre recintos, como ∫ sen x dx entre 0 y 2π. Los números a y b son los límites de integración y el resultado es un número, no una función: no lleva constante C.
Propiedades de la integral definida
Además de ser lineal, como la indefinida, la integral definida es aditiva respecto del intervalo: se puede partir [a, b] por cualquier punto c y sumar las dos integrales. Esta propiedad es la que se usa para calcular áreas cuando la función cambia de signo, partiendo por los puntos de corte. Si se cambian de orden los límites, la integral cambia de signo.
Regla de Barrow
El teorema fundamental del cálculo dice que, si f es continua, la función que da el área desde a hasta x tiene por derivada f: la integral y la derivada son operaciones inversas. La consecuencia práctica es la regla de Barrow: para calcular una integral definida no hace falta sumar rectángulos; basta con una primitiva F, que se evalúa en el límite superior y en el inferior, y se restan.
Por ejemplo, ∫ 2x dx entre 1 y 3 es [x²] entre 1 y 3, que vale 9 − 1 = 8. La constante C no hace falta porque se anularía al restar. Ojo: la regla solo vale si f es continua en todo [a, b]; con una asíntota dentro del intervalo, como 1/x entre −1 y 1, la integral es impropia y no se puede aplicar.
Área bajo una curva
Para calcular el área entre la gráfica de f y el eje X en [a, b] hay que saber dónde cambia de signo la función. Se resuelve f(x) = 0, se toman las soluciones que caen dentro del intervalo y se separa el área en recintos; se calcula la integral de cada uno con la regla de Barrow y se suman sus valores absolutos, porque las integrales de los recintos por debajo del eje salen negativas.
Si el enunciado no da el intervalo, el recinto es el que encierran la curva y el eje entre el primer y el último punto de corte. En la gráfica, la parábola x² − 2x − 3 corta al eje en x = 3 dentro del intervalo [0, 4]: el área es 9 + 7/3 = 34/3 u², mientras que la integral entre 0 y 4 daría −9 + 7/3 = −20/3.
Área entre dos curvas
El área del recinto que encierran dos curvas se calcula integrando su diferencia. Primero se buscan los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x), que suelen ser los límites de integración; después se integra f − g en cada tramo y se toman valores absolutos. Si se resta al revés, solo cambia el signo de cada integral. Entre y = 2x y y = x², que se cortan en x = 0 y x = 2, el área es 4/3 u².
En Matemáticas II, la misma idea sirve para el volumen de un cuerpo de revolución: al girar la gráfica de f alrededor del eje X, cada rebanada es un disco de radio f(x), y el volumen es π por la integral de f². Al girar y = √x entre 0 y 4 sale V = π ∫ x dx = 8π u³.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Calcula integral de 0 a 2 de 3 x al cuadrado menos 2 x más 1, de x
Integramos término a término (la integral de una suma es la suma de las integrales) con la tabla de integrales inmediatas.
integral de 3 x al cuadrado menos 2 x más 1, de x igual a 3 por fracción de numerador x al cubo y denominador 3, menos 2 por fracción de numerador x al cuadrado y denominador 2, más x igual a x al cubo menos x al cuadrado más x
Calculamos una primitiva de la función (sin la constante C, que se anula al restar):
F(x) = x³ − x² + x
Regla de Barrow: sustituimos el límite superior y el inferior en la primitiva y restamos.
integral de a a b de f de x, de x igual a F de x, evaluado entre a y b, igual a F de b menos F de a
integral de 0 a 2 de 3 x al cuadrado menos 2 x más 1, de x igual a x al cubo menos x al cuadrado más x, evaluado entre 0 y 2, igual a abre paréntesis 2 al cubo menos 2 al cuadrado más 2 cierra paréntesis menos abre paréntesis 0 al cubo menos 0 al cuadrado más 0 cierra paréntesis igual a 6 menos 0 igual a 6
Solución integral de 0 a 2 de 3 x al cuadrado menos 2 x más 1, de x igual a 6
Ejemplo 2: Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje X y las rectas x = 0 y x = 4, con f(x) = x² − 2x − 3
Llamamos P(x) al polinomio:
P(x) = x² − 2x − 3
Para el factor de segundo grado buscamos sus raíces con la fórmula de la ecuación de segundo grado.
x² − 2x − 3 = 0
Calculamos el discriminante Δ = b² − 4ac.
Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16
Δ es positivo: hay dos raíces.
x = (2 ± √16)/(2 · 1) = (2 ± 4)/2
Separamos el signo + y el signo −.
x₁ = 3; x₂ = −1
Factorización:
P(x) = (x − 3)(x + 1)
Raíces: x = 3; x = −1.
Puntos de corte con el eje X (f(x) = 0) dentro del intervalo: resolvemos la ecuación en el intervalo igualando a 0 y factorizando:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3
Integramos término a término (la integral de una suma es la suma de las integrales) con la tabla de integrales inmediatas.
integral de x al cuadrado menos 2 x menos 3, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, menos 2 por fracción de numerador x al cuadrado y denominador 2, menos 3 x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, menos x al cuadrado menos 3 x
Una primitiva de f:
F(x) = x³/3 − x² − 3x
La función cambia de signo (o se anula) dentro del intervalo: separamos el área en dos recintos y calculamos la integral de cada uno.
Recinto 1, de x = 0 a x = 3 (la curva está por debajo del eje: la integral sale negativa):
integral de 0 a 3 de x al cuadrado menos 2 x menos 3, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, menos x al cuadrado menos 3 x, evaluado entre 0 y 3, igual a abre paréntesis menos 9 cierra paréntesis menos 0 igual a menos 9
Recinto 2, de x = 3 a x = 4:
integral de 3 a 4 de x al cuadrado menos 2 x menos 3, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, menos x al cuadrado menos 3 x, evaluado entre 3 y 4, igual a abre paréntesis menos 20 partido por 3 cierra paréntesis menos abre paréntesis menos 9 cierra paréntesis igual a 7 partido por 3
El área es la suma de los valores absolutos de las integrales de cada recinto:
A igual a valor absoluto de menos 9, más valor absoluto de 7 partido por 3, igual a 9 más 7 partido por 3 igual a 34 partido por 3 u al cuadrado
Solución A = 34/3 u²
Ejemplo 3: Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f(x) = 2x y g(x) = x²
El área entre dos curvas es la integral de su diferencia (en valor absoluto en cada trozo). Restamos las funciones:
h(x) = f(x) − g(x) = 2x − x²
Llamamos P(x) al polinomio:
P(x) = 2x − x²
Sacamos factor común −1 para que el primer coeficiente sea positivo.
P(x) = −(x² − 2x)
El término independiente es 0: sacamos factor común x, así que x = 0 es raíz.
P(x) = −x(x − 2)
Factorización:
P(x) = −x(x − 2)
Raíces: x = 0; x = 2.
Puntos de corte de las dos curvas (h(x) = 0): resolvemos la ecuación igualando a 0 y factorizando:
2x − x² = 0 ⇒ x = 0; x = 2
Sin intervalo, el recinto va del primer punto de corte al último: de x = 0 a x = 2.
Integramos término a término (la integral de una suma es la suma de las integrales) con la tabla de integrales inmediatas.
integral de 2 x menos x al cuadrado, de x igual a 2 por fracción de numerador x al cuadrado y denominador 2, menos fracción de numerador x al cubo y denominador 3, igual a x al cuadrado menos fracción de numerador x al cubo y denominador 3
Una primitiva de h:
H(x) = x² − x³/3
Aplicamos la regla de Barrow:
integral de 0 a 2 de 2 x menos x al cuadrado, de x igual a x al cuadrado menos fracción de numerador x al cubo y denominador 3, evaluado entre 0 y 2, igual a 4 partido por 3 menos 0 igual a 4 partido por 3
El área es el valor de la integral:
A = 4/3 u²
Solución A = 4/3 u²
Errores frecuentes
- Calcular un área con una sola integral cuando la función cambia de signo: los recintos de debajo del eje restan.
- Restar al revés en la regla de Barrow: es F(b) − F(a), el límite superior menos el inferior.
- Aplicar Barrow a una función con una asíntota dentro del intervalo.
- Poner la constante C en una integral definida, o dar el área sin unidades (u²).
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 pide en 2.º de Bachillerato interpretar la integral definida como el área bajo una curva y aplicarla al cálculo de áreas (Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II) y de volúmenes de revolución (Matemáticas II). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
B. Sentido de la medida
- Medición: Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.
- Medición: Cálculo de áreas bajo una curva: técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
- Medición: Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas o volúmenes de revolución.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
B. Sentido de la medida
- Medición: Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.
- Medición: Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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