Derivadas: qué son, reglas de derivación y regla de la cadena
La derivada mide lo deprisa que cambia una función en un punto: es la pendiente de la recta tangente a su gráfica. Se calcula combinando unas pocas reglas.
Apartados del tema (5)
Qué es la derivada
Si una función pasa de f(a) a f(a + h) cuando x avanza h, el cociente (f(a + h) − f(a))/h es su tasa de variación media en ese tramo: cuánto cambia, de media, por cada unidad. Al hacer el tramo cada vez más pequeño se obtiene la tasa de variación instantánea, que es la derivada f′(a). Es la misma idea que la velocidad que marca el velocímetro de un coche: no la media del viaje, sino la de ese instante.
Cuando el límite existe y es un número, se dice que f es derivable en a. Una función derivable es continua, pero no al revés: |x| es continua en 0 y no es derivable allí, porque la gráfica hace un pico y la pendiente por la izquierda (−1) no coincide con la de la derecha (1).
La derivada es la pendiente de la tangente
Las rectas que cortan la gráfica en dos puntos cercanos se van pareciendo, al acercar los puntos, a una recta que solo la toca: la recta tangente. Su pendiente es f′(a). Por eso, para escribir la tangente en x = a hacen falta tres datos: el punto a, su imagen f(a) y la pendiente f′(a), que se sustituyen en la ecuación punto-pendiente.
Por ejemplo, en f(x) = x² el punto x = 3 tiene imagen 9 y pendiente f′(3) = 6: la tangente es y − 9 = 6(x − 3), es decir, y = 6x − 9.
Reglas de derivación
Las derivadas de las funciones elementales (potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y trigonométricas) se aprenden con la tabla de derivadas. Las de las funciones construidas con ellas salen de las reglas de las operaciones (suma, producto y cociente) y, para las funciones compuestas, de la regla de la cadena. La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y una constante que multiplica se queda donde está: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
El producto y el cociente no se derivan factor a factor: la derivada de x² · sen x no es 2x · cos x, sino 2x · sen x + x² · cos x. En el cociente importa el orden del numerador, porque hay una resta: primero se deriva el de arriba.
La regla de la cadena
Una función compuesta aplica una función al resultado de otra: en sen(x² + 1), primero se calcula u = x² + 1 y después el seno de u. La regla de la cadena dice que se deriva la función de fuera, dejando dentro lo mismo, y se multiplica por la derivada de lo de dentro.
Con varias capas se repite la regla de fuera hacia dentro: en sen²(3x) hay un cuadrado, un seno y un 3x, y la derivada es 2 sen(3x) · cos(3x) · 3. Por eso la tabla de derivadas tiene, al lado de cada función, su versión compuesta: (eᵘ)′ = eᵘ · u′, (ln u)′ = u′/u, (√u)′ = u′/(2√u).
Cuando la x está a la vez en la base y en el exponente, como en xˣ, ninguna fila de la tabla sirve: se toman logaritmos neperianos (ln y = x · ln x), se deriva con la regla de la cadena a la izquierda y se despeja y′. Es la derivación logarítmica.
Crecimiento, máximos y mínimos
Donde la derivada es positiva, las tangentes suben y la función crece; donde es negativa, decrece. Para estudiar la monotonía se resuelve f′(x) = 0 (los puntos críticos), se añaden los puntos donde f no está definida y se mira el signo de f′ en cada intervalo con un valor de prueba.
Si f′ pasa de positiva a negativa, la función alcanza un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva, un mínimo relativo. Un punto crítico en el que el signo no cambia, como x = 0 en f(x) = x³, no es ni máximo ni mínimo. En 2.º de Bachillerato estas ideas se usan para representar funciones y resolver problemas de optimización.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Deriva f(x) = (x² + 1)/(x − 1)
Regla del cociente:
abre paréntesis u partido por v cierra paréntesis prima igual a fracción de numerador u prima por v menos u por v prima y denominador v al cuadrado
f prima de x igual a fracción de numerador abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis prima por abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis menos abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis por abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis prima y denominador abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis al cuadrado, igual a fracción de numerador 2 x por abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis menos abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis por 1 y denominador abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis al cuadrado
Operamos y simplificamos:
f prima de x igual a fracción de numerador x al cuadrado menos 2 x menos 1 y denominador abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis al cuadrado
Solución f prima de x igual a fracción de numerador x al cuadrado menos 2 x menos 1 y denominador abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis al cuadrado
Ejemplo 2: Deriva f(x) = x · e^(−x²)
Exponencial con la regla de la cadena:
abre paréntesis e elevado a u cierra paréntesis prima igual a e elevado a u por u prima
abre paréntesis e elevado a menos x al cuadrado cierra paréntesis prima igual a e elevado a menos x al cuadrado, por abre paréntesis menos x al cuadrado cierra paréntesis prima igual a e elevado a menos x al cuadrado, por abre paréntesis menos 2 x cierra paréntesis igual a menos 2 x por e elevado a menos x al cuadrado
Regla del producto:
abre paréntesis u por v cierra paréntesis prima igual a u prima por v más u por v prima
f prima de x igual a abre paréntesis x cierra paréntesis prima por e elevado a menos x al cuadrado, más x por abre paréntesis e elevado a menos x al cuadrado cierra paréntesis prima igual a 1 por e elevado a menos x al cuadrado, más x por abre paréntesis menos 2 x por e elevado a menos x al cuadrado, cierra paréntesis
Operamos y simplificamos:
f prima de x igual a abre paréntesis 1 menos 2 x al cuadrado cierra paréntesis por e elevado a menos x al cuadrado
Solución f prima de x igual a abre paréntesis 1 menos 2 x al cuadrado cierra paréntesis por e elevado a menos x al cuadrado
Ejemplo 3: Estudia el crecimiento y los extremos relativos de f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2
Derivamos la función:
f prima de x igual a 3 x al cuadrado menos 6 x menos 9
Factorizamos la derivada para ver dónde se anula:
3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1)
Puntos críticos: donde se anula la derivada.
f prima de x igual a 0 implica x igual a menos 1; x igual a 3
Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo, con un valor de prueba: si f′ > 0, f crece; si f′ < 0, decrece.
Signo de f prima de x en cada intervalo Intervalo Probamos Valor Signo (−∞, −1) f prima de menos 2 15 + (positivo) (−1, 3) f prima de 1 −12 − (negativo) (3, +∞) f prima de 4 15 + (positivo) Monotonía:
Crece en (−∞, −1) ∪ (3, +∞); decrece en (−1, 3)
Extremos relativos: donde la derivada cambia de signo (de + a −, máximo; de − a +, mínimo). La segunda coordenada es el valor de la función.
Máximo en (−1, 7); mínimo en (3, −25)
Solución máximo en (−1, 7); mínimo en (3, −25)
Errores frecuentes
- Derivar un producto o un cociente factor a factor: (u · v)′ no es u′ · v′. Hay que usar su regla.
- Olvidar la derivada de dentro en la regla de la cadena: (sen 3x)′ es 3 cos 3x, no cos 3x.
- Cambiar el orden en el numerador del cociente: es u′ · v − u · v′; al revés sale el signo contrario.
- Confundir la derivada en un punto con el valor de la función: f′(a) es la pendiente de la tangente, no f(a).
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 sitúa en 1.º la definición de derivada a partir del estudio del cambio y, en 2.º, su aplicación al cálculo de límites, a la representación de funciones y a los problemas de optimización. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas I · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas I, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos · Matemáticas I, Bachillerato, 1.º
B. Sentido de la medida
- Cambio: Derivada de una función: definición a partir del estudio del cambio en diferentes contextos.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Bachillerato, 1.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bachillerato, 1.º
B. Sentido de la medida
- Cambio: Derivada de una función: definición a partir del estudio del cambio en contextos de las ciencias sociales.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
B. Sentido de la medida
- Cambio: Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites.
- Cambio: Aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad a la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser modelizadas mediante funciones.
- Cambio: La derivada como razón de cambio en la resolución de problemas de optimización en contextos diversos.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
B. Sentido de la medida
- Cambio: La derivada como razón de cambio en resolución de problemas de optimización en contextos diversos.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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