Límites de funciones: cálculo, continuidad y asíntotas

Ejemplos resueltos paso a paso

1. 1

   Ejemplo 1: Calcula limx→2x²−5x+6x²−4límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 5 x más 6 y denominador x al cuadrado menos 4

   1. Sustituimos x = 2: sale una indeterminación, cero entre cero.

      limx→2x²−5x+6x²−4​=2²−5·2+62²−4​=00límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 5 x más 6 y denominador x al cuadrado menos 4 igual a fracción de numerador 2 al cuadrado menos 5 por 2 más 6 y denominador 2 al cuadrado menos 4, igual a 0 partido por 0

   2. Dividimos x² − 5x + 6 entre x − 2 por Ruffini:

      Tabla de Ruffini de la división entre x − 2

      Coeficientes	1	−5	6
      2 (productos)		2	−6
      Resultados	1	−3	0 (resto)

      x²​−5x​+6​=(x−2)(x−3)x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

   3. Dividimos x² − 4 entre x − 2 por Ruffini:

      Tabla de Ruffini de la división entre x − 2

      Coeficientes	1	0	−4
      2 (productos)		2	4
      Resultados	1	2	0 (resto)

      x²​−4​=(x−2)(x+2)x² − 4 = (x − 2)(x + 2)

   4. Escribimos el numerador y el denominador factorizados:

      limx→2x²−5x+6x²−4​=limx→2(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 5 x más 6 y denominador x al cuadrado menos 4 igual a límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador abre paréntesis x menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis x menos 3 cierra paréntesis y denominador abre paréntesis x menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis x más 2 cierra paréntesis

   5. Simplificamos el factor x − 2, que es el que se anula:

      limx→2(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)​=limx→2x−3x+2límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador abre paréntesis x menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis x menos 3 cierra paréntesis y denominador abre paréntesis x menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis x más 2 cierra paréntesis igual a límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x menos 3 y denominador x más 2

   6. Sustituimos x = 2:

      limx→2x−3x+2​=2−32+2​=−14límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x menos 3 y denominador x más 2 igual a fracción de numerador 2 menos 3 y denominador 2 más 2, igual a menos 1 partido por 4

   Solución limx→2x²−5x+6x²−4​=−14límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 5 x más 6 y denominador x al cuadrado menos 4 igual a menos 1 partido por 4

2. 2

   Ejemplo 2: Calcula limx→+∞1+3x^2xlímite cuando x tiende a más infinito de abre paréntesis 1 más 3 partido por x cierra paréntesis elevado a 2 x

   1. Cuando x tiende a +∞ sale una indeterminación: uno elevado a infinito.

      limx→+∞1+3x^2x​=1^∞límite cuando x tiende a más infinito de abre paréntesis 1 más 3 partido por x cierra paréntesis elevado a 2 x igual a 1 elevado a infinito

   2. Indeterminación uno elevado a infinito: se resuelve con el número e. Operamos el exponente:

      limx→af^g​=e^{limx→ag·(f−1)}límite cuando x tiende a a de f elevado a g igual a e elevado a límite cuando x tiende a a de g por abre paréntesis f menos 1 cierra paréntesis

   3. limx→+∞1+3x^2x​=e^{limx→+∞2x·(1+3x−1)}​=e^limx→+∞6límite cuando x tiende a más infinito de abre paréntesis 1 más 3 partido por x cierra paréntesis elevado a 2 x igual a e elevado a límite cuando x tiende a más infinito de 2 x por abre paréntesis abre paréntesis 1 más 3 partido por x cierra paréntesis menos 1 cierra paréntesis, igual a e elevado a límite cuando x tiende a más infinito de 6

   4. Cuando x tiende a +∞:

      limx→+∞e⁶​=e⁶límite cuando x tiende a más infinito de e elevado a 6 igual a e elevado a 6

   Solución limx→+∞1+3x^2x​=e⁶límite cuando x tiende a más infinito de abre paréntesis 1 más 3 partido por x cierra paréntesis elevado a 2 x igual a e elevado a 6

3. 3

   Ejemplo 3: Halla las asíntotas de f(x) = ​x²+1x−1f(x) = (x² + 1)/(x − 1)

   1. Asíntotas verticales: buscamos dónde se anula el denominador.

      x = ​1x = 1

   2. En x = 1 los límites laterales son infinitos: hay una asíntota vertical.

      limx→1⁻x²+1x−1​=−∞; ​limx→1⁺x²+1x−1​=+∞límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de fracción de numerador x al cuadrado más 1 y denominador x menos 1 igual a menos infinito; límite cuando x tiende a 1 por la derecha de fracción de numerador x al cuadrado más 1 y denominador x menos 1 igual a más infinito

   3. No hay asíntota horizontal: el límite en el infinito es infinito (+∞ y −∞).

   4. Asíntota oblicua (el numerador tiene un grado más que el denominador): y = mx + n. La pendiente es m = lim f(x)/x:

      m​=limx→∞x²+1x−1x​=1m igual a límite cuando x tiende a infinito de fracción de numerador fracción de numerador x al cuadrado más 1 y denominador x menos 1 y denominador x igual a 1

   5. La ordenada es n = lim (f(x) − mx):

      n​=limx→∞x²+1x−1−x​=1n igual a límite cuando x tiende a infinito de abre paréntesis fracción de numerador x al cuadrado más 1 y denominador x menos 1, menos x cierra paréntesis igual a 1

   6. La asíntota oblicua es la recta:

      y = ​x​+1y = x + 1

   Solución asíntota vertical x = ​1​; asíntota oblicua y = ​x​+1asíntota vertical x = 1; asíntota oblicua y = x + 1