Calculadora de límites paso a paso
Escribe la función y el valor al que tiende x. Verás el límite con cada paso explicado: la sustitución, la indeterminación que aparece y cómo se resuelve (factorizar, conjugado, grados, número e o L'Hôpital), y los límites laterales cuando hacen falta.
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Escribe el límite
límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 4 y denominador x menos 2 igual a 4Ver los pasos
Escribe las potencias con ^ (x^2), las raíces con √ o sqrt( ), el número e como e^x y las funciones como en el cuaderno: sen, cos, tg, ln. Usa paréntesis para el numerador y el denominador: (x^2 − 4)/(x − 2).
He leído: límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 4 y denominador x menos 2
Por qué lado
Método para las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞
Resultado
Calcular: límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 4 y denominador x menos 2
Límite
límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 4 y denominador x menos 2 igual a 4
Métodos que se usan
- Factorizar y simplificar
- Sustitución directa
Paso a paso
Sustituimos x = 2: sale una indeterminación, cero entre cero.
límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 4 y denominador x menos 2 igual a fracción de numerador 2 al cuadrado menos 4 y denominador 2 menos 2, igual a 0 partido por 0
Dividimos x² − 4 entre x − 2 por Ruffini:
Tabla de Ruffini Coeficientes 1 0 −4 2 (productos) 2 4 Resultados 1 2 0 (resto) x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
Escribimos el numerador y el denominador factorizados:
límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador x al cuadrado menos 4 y denominador x menos 2 igual a límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador abre paréntesis x menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis x más 2 cierra paréntesis y denominador x menos 2
Simplificamos el factor x − 2, que es el que se anula:
límite cuando x tiende a 2 de fracción de numerador abre paréntesis x menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis x más 2 cierra paréntesis y denominador x menos 2 igual a límite cuando x tiende a 2 de abre paréntesis x más 2 cierra paréntesis
Sustituimos x = 2:
límite cuando x tiende a 2 de abre paréntesis x más 2 cierra paréntesis igual a 2 más 2 igual a 4
Resultado comprobado con los valores de la función muy cerca del punto.
Ejemplos para probar
Sustitución y límites laterales
Cero entre cero
En el infinito
Número e (1 elevado a ∞)
Con L'Hôpital (2.º de Bachillerato)
Ejercicios de límites para imprimir
Sustitución y límites laterales, 0/0 factorizando, con raíces, en el infinito, el número e y la regla de L'Hôpital, en tres niveles de 1.º y 2.º de Bachillerato. Cada ficha es distinta y el solucionario lleva los pasos, con la tabla de Ruffini cuando se factoriza. En A4 o Carta, PDF o Word.
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Cómo se calcula un límite
El primer paso es siempre el mismo: sustituir. Si sale un número, ese es el límite. Si sale un número distinto de 0 entre 0, los límites laterales son infinitos y su signo depende del lado por el que nos acerquemos: si coinciden, el límite es +∞ o −∞, y si no, no existe. Y si sale una indeterminación, hay que transformar la función sin cambiar su límite:
- 0/0 con polinomios: el numerador y el denominador se anulan en el punto, así que los dos son divisibles entre x − a. Se factorizan por Ruffini, se simplifica el factor común y se vuelve a sustituir.
- 0/0 con raíces: se multiplica y se divide por el conjugado de la expresión con la raíz para que aparezca una diferencia de cuadrados.
- ∞/∞ en el infinito: solo cuentan los términos de mayor grado. Si el numerador tiene más grado, el límite es infinito; si tienen el mismo, es el cociente de los coeficientes principales; si el denominador tiene más, es 0.
- ∞ − ∞: en un polinomio manda el término de mayor grado; con raíces se usa el conjugado y con fracciones se hace común denominador.
- 1∞: se usa el número e: lim fg = elim g·(f − 1).
En 2.º de Bachillerato se añade la regla de L'Hôpital: en 0/0 o ∞/∞, el límite del cociente es el del cociente de las derivadas. La calculadora la usa cuando no hay otro método o si eliges «Con L'Hôpital». La teoría, con la continuidad y las asíntotas, está en el tema de límites.
Ideas para usarla en clase
- Clasificar antes de resolver: proyecta solo el límite y pide que digan qué sale al sustituir. El primer paso de la calculadora confirma si era un número, k/0 o una indeterminación, y cuál.
- Dos caminos, un resultado: resuelve un 0/0 de polinomios con «Como en 1.º» y después con L'Hôpital. Comparar los pasos ayuda a entender por qué los dos funcionan.
- Asíntotas: con una función racional, calcula el límite en el punto donde se anula el denominador (asíntota vertical, con sus laterales) y en ±∞ (horizontal).
- El número e: prueba (1 + 1/x)x y luego (1 + 2/x)3x; que la clase adivine el resultado antes de verlo.
Las derivadas que usa L'Hôpital salen de la calculadora de derivadas, con sus pasos. Para los cocientes de polinomios, la regla de Ruffini explica la factorización con más detalle.
Preguntas frecuentes
¿Qué límites resuelve?
Límites de funciones en un punto o en el infinito, por un lado o por los dos: sustitución directa, límites infinitos con sus laterales y las indeterminaciones de Bachillerato: 0/0 con polinomios (factorizando por Ruffini) o con raíces (multiplicando por el conjugado), ∞/∞ comparando grados, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞ con el número e y 00 o ∞0 tomando logaritmos. Lo que no se resuelve así, como los límites de 0/0 con funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, lo hace con la regla de L'Hôpital.
¿Cómo escribo el infinito y los límites laterales?
En «x tiende a» escribe +inf, -inf, ∞ o pulsa los atajos +∞ y −∞. Para un límite lateral, elige «Por la izquierda» o «Por la derecha», o escribe el signo detrás del número: 2+ es x → 2+ y 0- es x → 0−.
¿Cuándo usa la regla de L'Hôpital?
Con la opción «Como en 1.º», solo cuando no hay otro camino de los que se ven en 1.º de Bachillerato (factorizar, conjugado, grados, número e). Con «Con L'Hôpital (2.º)», la usa en todas las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞ que no son cocientes de polinomios en el infinito. Al aplicarla, las derivadas del numerador y del denominador se pueden desplegar con sus pasos.
¿Por qué dice que un límite no existe?
Por dos motivos: los límites laterales son distintos (1/x en 0 vale −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha) o la función oscila sin acercarse a ningún número (sen x cuando x tiende a infinito). En los dos casos lo explica y, si hay laterales, los da.
¿Puedo fiarme del resultado?
Cada límite se resuelve con los métodos de clase y se comprueba con los valores de la función muy cerca del punto. Si no cuadran, la calculadora no da el resultado y lo dice, igual que cuando no sabe resolver el límite con garantías.
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