Integrales: primitivas, integrales inmediatas y por partes
Integrar es lo contrario de derivar: buscar una función, la primitiva, cuya derivada sea la que tenemos. Se hace con la tabla de inmediatas y pocos métodos.
Apartados del tema (5)
Qué es una integral indefinida
Una primitiva de una función f es otra función F cuya derivada es f. Como x³ tiene derivada 3x², x³ es una primitiva de 3x²; pero también lo son x³ + 7 y x³ − 2, porque la derivada de una constante es 0. Por eso todas las primitivas se escriben juntas como F(x) + C, donde C es cualquier número, y a ese conjunto se le llama integral indefinida: ∫ 3x² dx = x³ + C.
El signo ∫ es una S alargada (de «suma») y el dx indica la variable respecto de la que se integra. Una integral se comprueba siempre derivando el resultado: si sale el integrando, está bien. Las constantes que multiplican salen fuera y la integral de una suma es la suma de las integrales, lo que permite integrar término a término.
Integrales inmediatas
Las integrales inmediatas son las que se leen directamente en la tabla, al revés que las derivadas: ∫ cos x dx = sen x + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1/(1 + x²) dx = arc tg x + C. La potencia vale para cualquier exponente salvo −1, también fraccionario: √x es la potencia de exponente 1/2, así que ∫ √x dx = 2x√x/3 + C. Y para x⁻¹ = 1/x la primitiva es el logaritmo.
Cada fila tiene su versión compuesta, con una función u en lugar de x y su derivada multiplicando: es la regla de la cadena al revés. En ∫ 2x · cos(x²) dx, u = x² y u′ = 2x, así que la integral es sen(x²) + C. Si solo falta un número, se multiplica y se divide por él: ∫ cos 3x dx = (1/3) ∫ 3 cos 3x dx = sen 3x/3 + C. Si lo que falta lleva x, la integral no es inmediata.
Cambio de variable
Cuando una raíz o una exponencial complica la integral, se cambia la variable para quitarla. En ∫ x√(x + 1) dx se toma t = √(x + 1): entonces x = t² − 1 y dx = 2t dt, y la integral se convierte en la de un polinomio, ∫ (t² − 1) · t · 2t dt. Al terminar se deshace el cambio, sustituyendo t por √(x + 1). Las inmediatas compuestas son, en el fondo, un cambio de variable que se hace de cabeza.
Integración por partes
La integración por partes sale de la derivada de un producto y sirve para integrales de un producto de funciones de distinto tipo, como x · eˣ, x² · sen x o x · ln x. Se elige qué factor es u (el que se deriva) y qué es dv (el que se integra), de modo que la integral que queda, ∫ v du, sea más sencilla que la de partida.
Para elegir u se usa la regla ALPES, por orden de preferencia: Arcos (arc tg x, arc sen x), Logaritmos, Polinomios, Exponenciales y Senos o cosenos. En ∫ x · eˣ dx, u = x (polinomio) y dv = eˣ dx, y queda x · eˣ − ∫ eˣ dx = (x − 1) · eˣ + C. Algunas integrales piden partes dos veces (x² · eˣ) y otras, las cíclicas como eˣ · sen x, vuelven a dar la integral de partida, que se despeja como una incógnita.
Integrales racionales
Una integral racional es la de un cociente de polinomios. Si el numerador tiene el mismo grado que el denominador o más, primero se dividen. Después se factoriza el denominador (con Ruffini) y la fracción se descompone en fracciones simples: una por cada raíz, y una por cada potencia si la raíz es múltiple. Los coeficientes A, B… se calculan quitando denominadores y dando a x el valor de las raíces.
- Raíz simple: A/(x − a) se integra como A · ln |x − a|.
- Raíz múltiple: B/(x − a)² se integra como potencia: −B/(x − a).
- Factor de segundo grado sin raíces: en general se separa en un logaritmo y un arco tangente, completando el cuadrado; si el numerador es constante, como aquí, solo queda el arco tangente: ∫ dx/(x² + 2x + 5) = arc tg((x + 1)/2)/2 + C.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Calcula integral de x abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis al cubo, de x
Es una integral inmediata de tipo potencia (uⁿ · u′), con
u = x² + 1, u′ = 2x
Falta un 2 para tener u′: multiplicamos y dividimos por 2. Aplicamos la fórmula:
integral de u elevado a n por u prima, de x igual a fracción de numerador u elevado a n más 1 y denominador n más 1, más C
integral de x abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis al cubo, de x igual a 1 partido por 2 integral de 2 x por abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis al cubo, de x igual a 1 partido por 2 por fracción de numerador abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis elevado a 4 y denominador 4, igual a fracción de numerador abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis elevado a 4 y denominador 8, más C
Solución integral de x abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis al cubo, de x igual a fracción de numerador abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis elevado a 4 y denominador 8, más C
Ejemplo 2: Calcula integral de x al cuadrado por logaritmo neperiano de x, de x
Integramos por partes (regla ALPES: u es el logaritmo, que al derivarlo se convierte en una fracción).
integral de u, de v igual a u por v menos integral de v, de u
u = ln x ⇒ du = 1/x dx
dv igual a x al cuadrado dx implica v igual a integral de x al cuadrado, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3
Aplicamos la fórmula:
integral de x al cuadrado por logaritmo neperiano de x, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, por logaritmo neperiano de x menos integral de fracción de numerador x al cubo y denominador 3, por 1 partido por x, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, por logaritmo neperiano de x menos integral de fracción de numerador x al cuadrado y denominador 3, de x
La integral que queda es inmediata:
integral de fracción de numerador x al cuadrado y denominador 3, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 9
Juntamos y simplificamos:
integral de x al cuadrado por logaritmo neperiano de x, de x igual a fracción de numerador x al cubo y denominador 3, por logaritmo neperiano de x menos fracción de numerador x al cubo y denominador 9, igual a fracción de numerador x al cubo por logaritmo neperiano de x y denominador 3, menos fracción de numerador x al cubo y denominador 9, más C
Solución integral de x al cuadrado por logaritmo neperiano de x, de x igual a fracción de numerador x al cubo por logaritmo neperiano de x y denominador 3, menos fracción de numerador x al cubo y denominador 9, más C
Ejemplo 3: Calcula integral de fracción de numerador x más 5 y denominador x al cuadrado más x menos 2, de x
Factorizamos el denominador:
x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2)
Descomponemos en fracciones simples, una por cada raíz del denominador:
(x + 5)/((x − 1)(x + 2)) = A/(x − 1) + B/(x + 2)
Sumamos las fracciones de la derecha e igualamos los numeradores:
x + 5 = A(x + 2) + B(x − 1)
Damos valores a x: primero, las raíces del denominador, que anulan casi todos los sumandos.
x = 1: 6 = 3A ⇒ A = 2
x = −2: 3 = −3B ⇒ B = −1
Sustituimos los coeficientes y la integral queda en una suma de integrales inmediatas:
integral de fracción de numerador x más 5 y denominador x al cuadrado más x menos 2, de x igual a integral de fracción de numerador 2 y denominador x menos 1, menos fracción de numerador 1 y denominador x más 2, de x
Inmediata de tipo logaritmo neperiano (u′/u) con u = x − 1, u′ = 1.
integral de u prima partido por u, de x igual a logaritmo neperiano de valor absoluto de u, más C
integral de fracción de numerador 1 y denominador x menos 1, de x igual a logaritmo neperiano de valor absoluto de x menos 1
Inmediata de tipo logaritmo neperiano (u′/u) con u = x + 2, u′ = 1.
integral de u prima partido por u, de x igual a logaritmo neperiano de valor absoluto de u, más C
integral de fracción de numerador 1 y denominador x más 2, de x igual a logaritmo neperiano de valor absoluto de x más 2
La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen fuera: integramos cada término.
integral de fracción de numerador 2 y denominador x menos 1, menos fracción de numerador 1 y denominador x más 2, de x igual a 2 integral de fracción de numerador 1 y denominador x menos 1, de x menos integral de fracción de numerador 1 y denominador x más 2, de x igual a 2 por logaritmo neperiano de valor absoluto de x menos 1, menos logaritmo neperiano de valor absoluto de x más 2, igual a 2 logaritmo neperiano de valor absoluto de x menos 1, menos logaritmo neperiano de valor absoluto de x más 2, más C
Solución integral de fracción de numerador x más 5 y denominador x al cuadrado más x menos 2, de x igual a 2 logaritmo neperiano de valor absoluto de x menos 1, menos logaritmo neperiano de valor absoluto de x más 2, más C
Errores frecuentes
- Olvidar la constante C en las integrales indefinidas.
- Derivar en lugar de integrar: la integral de sen x es −cos x y la de cos x es sen x (los signos van al revés que en las derivadas).
- Integrar un producto o un cociente factor a factor: ∫ x · eˣ dx no es x²/2 · eˣ (se hace por partes).
- Meter o sacar de la integral algo que lleva x para «completar» u′: solo se pueden ajustar números.
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En qué cursos se ve
El Real Decreto 243/2022 sitúa el cálculo de primitivas en 2.º de Bachillerato, en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, como herramienta para calcular áreas bajo una curva. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas II, Bachillerato, 2.º
B. Sentido de la medida
- Medición: Cálculo de áreas bajo una curva: técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Bachillerato, 2.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
Saberes básicos · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Bachillerato, 2.º
B. Sentido de la medida
- Medición: Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.
Fuente: RD 243/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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