Tabla de integrales
Las integrales inmediatas, simples y compuestas (de la forma f′ · g(f)), con las propiedades y los métodos de integración, para consultar, practicar tapando las primitivas e imprimir en PDF completa o para completar.
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| Función | Integral | Primitiva | Integral compuesta | Primitiva |
|---|---|---|---|---|
| Constantek es un número | integral de k, de x | k x más C | no se aplica | no se aplica |
| Potencian ≠ −1; también para las raíces (√x es x elevado a 1/2) | integral de x elevado a n, de x | fracción de numerador x elevado a n más 1 y denominador n más 1, más C | integral de u elevado a n por u prima, de x | fracción de numerador u elevado a n más 1 y denominador n más 1, más C |
| Raíz cuadrada | integral de fracción de numerador 1 y denominador 2 raíz cuadrada de x, de x | raíz cuadrada de x más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador 2 raíz cuadrada de u, de x | raíz cuadrada de u más C |
| Logaritmo neperianoes la potencia con n = −1 | integral de 1 partido por x, de x | logaritmo neperiano de valor absoluto de x, más C | integral de u prima partido por u, de x | logaritmo neperiano de valor absoluto de u, más C |
| Exponencial de base e | integral de e elevado a x, de x | e elevado a x más C | integral de e elevado a u por u prima, de x | e elevado a u más C |
| Exponencial de base aa > 0, a ≠ 1 | integral de a elevado a x, de x | fracción de numerador a elevado a x y denominador logaritmo neperiano de a, más C | integral de a elevado a u por u prima, de x | fracción de numerador a elevado a u y denominador logaritmo neperiano de a, más C |
| Seno | integral de seno de x, de x | menos coseno de x más C | integral de seno de u por u prima, de x | menos coseno de u más C |
| Coseno | integral de coseno de x, de x | seno de x más C | integral de coseno de u por u prima, de x | seno de u más C |
| Tipo tangente1/cos² x = 1 + tg² x | integral de fracción de numerador 1 y denominador coseno al cuadrado de x, de x igual a integral de 1 más tangente al cuadrado de x, de x | tangente de x más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador coseno al cuadrado de u, de x igual a integral de abre paréntesis 1 más tangente al cuadrado de u cierra paréntesis por u prima, de x | tangente de u más C |
| Tipo cotangente1/sen² x = 1 + cotg² x | integral de fracción de numerador 1 y denominador seno al cuadrado de x, de x igual a integral de 1 más cotangente al cuadrado de x, de x | menos cotg x más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador seno al cuadrado de u, de x igual a integral de abre paréntesis 1 más cotangente al cuadrado de u cierra paréntesis por u prima, de x | menos cotg u más C |
| TangenteAmpliacióntg x = sen x/cos x: es de tipo logaritmo | integral de tangente de x, de x | menos logaritmo neperiano de valor absoluto de coseno de x, más C | integral de tangente de u por u prima, de x | menos logaritmo neperiano de valor absoluto de coseno de u, más C |
| CotangenteAmpliacióncotg x = cos x/sen x: es de tipo logaritmo | integral de cotg x, de x | logaritmo neperiano de valor absoluto de seno de x, más C | integral de cotg u por u prima, de x | logaritmo neperiano de valor absoluto de seno de u, más C |
| Arco seno | integral de fracción de numerador 1 y denominador raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado, de x | arco seno de x más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador raíz cuadrada de 1 menos u al cuadrado, de x | arco seno de u más C |
| Arco tangente | integral de fracción de numerador 1 y denominador 1 más x al cuadrado, de x | arco tangente de x más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador 1 más u al cuadrado, de x | arco tangente de u más C |
| Arco tangente con aAmpliacióna > 0 | integral de fracción de numerador 1 y denominador a al cuadrado más x al cuadrado, de x | 1 partido por a por arco tangente de abre paréntesis x partido por a cierra paréntesis más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador a al cuadrado más u al cuadrado, de x | 1 partido por a por arco tangente de abre paréntesis u partido por a cierra paréntesis más C |
| Arco seno con aAmpliacióna > 0 | integral de fracción de numerador 1 y denominador raíz cuadrada de a al cuadrado menos x al cuadrado, de x | arco seno de abre paréntesis x partido por a cierra paréntesis más C | integral de fracción de numerador u prima y denominador raíz cuadrada de a al cuadrado menos u al cuadrado, de x | arco seno de abre paréntesis u partido por a cierra paréntesis más C |
Propiedades y métodos de integración
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Suma y resta | la integral de f más menos g es la integral de f más menos la integral de g |
| Constante por función | la integral de k por f es k por la integral de f |
| Cambio de variable | la integral de f de g de x por g prima de x es la integral de f de t, de t, con t igual a g de x |
| Por partes | la integral de u, de v, es u por v menos la integral de v, de u |
| Regla de Barrow | la integral de a a b de f de x es F de b menos F de a, con F una primitiva de f |
Tabla de integrales para imprimir
La tabla completa con las propiedades y los métodos, o la versión para completar con la solución en otra página. Con o sin la columna de la integral compuesta y las filas de ampliación. PDF en A4 o Carta, en color o en blanco y negro.
Paso 1: Elige un punto de partida
Paso 2: Personaliza
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Tres integrales compuestas con la tabla
Se busca la fila de la función de fuera, se identifica u y se comprueba que su derivada está multiplicando (o que solo falta un número).
- integral de 2 coseno de abre paréntesis x al cuadrado cierra paréntesis por x, de xu = x² (u′ = 2x)integral de 2 coseno de abre paréntesis x al cuadrado cierra paréntesis por x, de x igual a seno de abre paréntesis x al cuadrado cierra paréntesis más C
- integral de 6 abre paréntesis 3 x al cuadrado más 1 cierra paréntesis elevado a 4 por x, de xu = 3x² + 1 (u′ = 6x)integral de 6 abre paréntesis 3 x al cuadrado más 1 cierra paréntesis elevado a 4 por x, de x igual a fracción de numerador abre paréntesis 3 x al cuadrado más 1 cierra paréntesis elevado a 5 y denominador 5, más C
- integral de fracción de numerador x y denominador x al cuadrado más 5, de xu = x² + 5 (u′ = 2x: falta un 2)integral de fracción de numerador x y denominador x al cuadrado más 5, de x igual a fracción de numerador logaritmo neperiano de abre paréntesis x al cuadrado más 5 cierra paréntesis y denominador 2, más C
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Cómo se usa la tabla de integrales
Cada fila tiene dos partes. A la izquierda, la integral con x sola y su primitiva: son las integrales inmediatas, que se leen directamente al revés de la tabla de derivadas. A la derecha, la misma integral con u, una función de x cualquiera, multiplicada por su derivada u′: es la forma f′ · g(f), que también es inmediata.
Para usar la columna compuesta hay que reconocer u. En ∫ e3x + 1 dx, u = 3x + 1 y u′ = 3: falta el 3, así que se multiplica y se divide por 3, y la integral es e3x + 1/3 + C. En ∫ (ln x)/x dx, u = ln x y u′ = 1/x está multiplicando, así que es la fila de la potencia: (ln x)2/2 + C.
Hay dos trampas habituales. La primera, la potencia con n = −1: ∫ x−1 dx no es x0/0, sino ln |x| (por eso tiene su propia fila). La segunda, los signos de las trigonométricas, que van al revés que en las derivadas: la integral de sen x es −cos x y la de cos x es sen x. Para comprobar cualquier integral con sus pasos tienes la calculadora de integrales, y la teoría con ejemplos en el tema de integrales.
Ideas para clase
- Al lado de la tabla de derivadas: imprime esta tabla junto a la tabla de derivadas y pide que relacionen cada fila con la de la otra tabla. Cada integral es una derivada leída al revés.
- Modo práctica en la pizarra digital: en pantalla completa, con las primitivas tapadas, cada alumno destapa una después de decirla en voz alta.
- ¿Dónde está u′? Escribe varias integrales compuestas y pide que subrayen u′ en cada una antes de integrar; las que no la tienen (salvo un número) no son inmediatas.
- En el examen: si se permite formulario, la versión en blanco y negro sin ampliación ni propiedades ocupa una sola hoja.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la columna de la integral compuesta?
Es la misma fila de la tabla cuando dentro de la función hay algo que no es x, que se llama u, y fuera está su derivada, u′. Es la regla de la cadena al revés: como (sen u)′ = cos u · u′, la integral de cos u · u′ es sen u. Por ejemplo, ∫ cos(x2) · 2x dx = sen(x2) + C.
¿Y si falta un número en u′?
Se multiplica y se divide por ese número, porque las constantes pueden entrar y salir de la integral. En ∫ x/(x2 + 5) dx, la derivada de x2 + 5 es 2x y solo hay x: se escribe (1/2) ∫ 2x/(x2 + 5) dx, que es (1/2) ln(x2 + 5) + C. Lo que no se puede hacer es meter o sacar algo que lleve x.
¿Por qué la integral de 1/x es ln |x| con valor absoluto?
Porque 1/x existe también para x negativo, y ln x no. El valor absoluto hace que la primitiva valga en los dos lados: la derivada de ln |x| es 1/x tanto si x es positivo como si es negativo. Cuando lo de dentro es siempre positivo, como x2 + 1, el valor absoluto no hace falta.
¿Cómo practico con la tabla?
Activa el modo práctica: las primitivas quedan tapadas y cada una tiene un botón para verla. Para el papel, descarga la versión para completar, que lleva la tabla completa en la página de soluciones.
¿Puedo imprimirla en blanco y negro?
Sí. En el generador de abajo elige A4 o Carta, completa o para completar, y la opción de blanco y negro. Sin las filas de ampliación y sin las propiedades, la tabla de las integrales simples cabe en una hoja con letra grande.
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