Calculadora de integrales paso a paso
Escribe la función y verás su integral con cada paso explicado: el método que se usa (inmediata, cambio de variable, por partes, fracciones simples) y la cuenta, como en el cuaderno. También integrales definidas con la regla de Barrow y áreas con su gráfica.
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Qué quieres calcular
integral de x al cuadrado por e elevado a x, de x igual a abre paréntesis x al cuadrado menos 2 x más 2 cierra paréntesis por e elevado a x más CVer los pasos
Escribe la función como en el cuaderno: potencias con ^ (x^3), raíces con √ o sqrt( ), e^x, ln x, sen x, cos x, tg x, arc tg x. No hace falta escribir ∫ ni dx (si los escribes, también vale: ∫ x^2 dx). Usa paréntesis para el numerador y el denominador: (x + 1)/(x^2 − 1).
He leído: integral de x al cuadrado por e elevado a x, de x
Resultado
Calcular: integral de x al cuadrado por e elevado a x, de x
Primitiva
integral de x al cuadrado por e elevado a x, de x igual a abre paréntesis x al cuadrado menos 2 x más 2 cierra paréntesis por e elevado a x más C
C es la constante de integración: cualquier número. Todas las primitivas de f se diferencian en una constante.
Métodos que se usan
- Inmediatas
- Por partes
- Suma y constantes
Paso a paso
Integramos por partes (regla ALPES: u es el polinomio, que al derivarlo baja de grado).
integral de u, de v igual a u por v menos integral de v, de u
u = x² ⇒ du = 2x dx
dv igual a e elevado a x dx implica v igual a integral de e elevado a x, de x igual a e elevado a x
Aplicamos la fórmula:
integral de x al cuadrado por e elevado a x, de x igual a x al cuadrado por e elevado a x menos integral de e elevado a x por 2 x, de x igual a x al cuadrado por e elevado a x menos integral de 2 x por e elevado a x, de x
Calculamos la integral que queda:
integral de 2 x por e elevado a x, de x igual a 2 abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis por e elevado a x
Las constantes que multiplican salen fuera de la integral.
integral de 2 x por e elevado a x, de x igual a 2 integral de x por e elevado a x, de x igual a 2 abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis por e elevado a x
Integramos por partes (regla ALPES: u es el polinomio, que al derivarlo baja de grado).
integral de u, de v igual a u por v menos integral de v, de u
u = x ⇒ du = dx
dv igual a e elevado a x dx implica v igual a integral de e elevado a x, de x igual a e elevado a x
Aplicamos la fórmula:
integral de x por e elevado a x, de x igual a x por e elevado a x menos integral de e elevado a x, de x
La integral que queda es inmediata:
integral de e elevado a x, de x igual a e elevado a x
Juntamos y simplificamos:
integral de x por e elevado a x, de x igual a x por e elevado a x menos e elevado a x igual a abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis por e elevado a x
Juntamos y simplificamos:
integral de x al cuadrado por e elevado a x, de x igual a x al cuadrado por e elevado a x menos 2 abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis por e elevado a x igual a abre paréntesis x al cuadrado menos 2 x más 2 cierra paréntesis por e elevado a x más C
Resultado comprobado: al derivar la primitiva sale exactamente la función.
Ejemplos para probar
Inmediatas
Compuestas: f′ · g(f)
Por partes
Racionales
Cambio de variable y trigonométricas
Integral definida y áreas
Ejercicios de integrales para imprimir
Inmediatas, compuestas, por partes, racionales, cambio de variable y trigonométricas, en tres niveles de 2.º de Bachillerato. Cada ficha es distinta y el solucionario lleva los pasos con el método de cada uno. En A4 o Carta, PDF o Word.
Paso 1: Elige un punto de partida
Paso 2: Personaliza
Paso 3: Revisa y descarga
Otros formatos
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Integral definida y áreas: ejercicios con soluciones
Regla de Barrow, área entre una curva y el eje X y área entre dos curvas, con los puntos de corte y los recintos en el solucionario.
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Cómo se resuelve una integral paso a paso
Integrar es buscar una función cuya derivada sea la que tenemos. No hay reglas para todo, como en las derivadas, sino una serie de métodos que se prueban en orden. La calculadora sigue el mismo orden que en clase:
- ¿Es una suma? La integral de una suma es la suma de las integrales, y los números que multiplican salen fuera: ∫ (3x2 − 4x + 1) dx = x3 − 2x2 + x + C.
- ¿Está en la tabla? Las inmediatas se resuelven directamente con la tabla de integrales. Si dentro de la función hay algo que no es x, se busca su derivada fuera: en ∫ 2x · ex2 dx, 2x es la derivada de x2, así que la integral es ex2. Si solo falta un número, se multiplica y se divide por él.
- ¿Es un cociente de polinomios? Si el numerador tiene el mismo grado o más, se dividen. Después se factoriza el denominador y se descompone en fracciones simples, que dan logaritmos, potencias y, con un factor de segundo grado sin raíces, un arco tangente.
- ¿Es un producto de dos tipos de función? Se integra por partes, con ∫ u dv = u · v − ∫ v du. Para elegir u, la regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales y senos, por ese orden.
- ¿Hay una raíz o una exponencial que estorba? Un cambio de variable la quita: con t = √(x + 1), la integral de x · √(x + 1) se convierte en la de un polinomio en t.
Los errores más frecuentes son olvidar la constante C, derivar en lugar de integrar (la integral de sen x es −cos x, no cos x), no ajustar la constante en las compuestas (∫ sen 3x dx = −cos 3x/3) y, en las áreas, restar las integrales de los recintos en vez de sumar sus valores absolutos. La teoría, con ejemplos resueltos, está en los temas de integrales y de integral definida.
Ideas para usarla en clase
- ¿Qué método toca? Proyecta solo la integral y pide que digan el método antes de pulsar: inmediata, compuesta, partes, racional o cambio. El recuadro «Métodos que se usan» sirve de corrección.
- Comprobar derivando: que el alumnado derive la primitiva que da la calculadora (o la suya) y compruebe que sale la función. Es la mejor costumbre para el examen.
- De la integral al área: calcula ∫ (x3 − x) dx entre −1 y 1, que da 0, y después el área del mismo recinto, que da 1/2. La gráfica explica por qué no coinciden.
- Dos primitivas distintas: integra sen x · cos x a mano por dos caminos (con u = sen x y con u = cos x) y compara con la calculadora: las tres respuestas se diferencian en una constante.
Para las derivadas que aparecen en los pasos, la calculadora de derivadas las explica una a una.
Preguntas frecuentes
¿Qué integrales sabe hacer?
Las de 2.º de Bachillerato: inmediatas (potencias, raíces, exponenciales, logaritmos, seno, coseno, tangente, arco seno y arco tangente) y sus compuestas, de la forma f′ · g(f); las que salen con una identidad trigonométrica (sen2 x, cos2 x, potencias impares, productos de senos y cosenos); las racionales, dividiendo y descomponiendo en fracciones simples; por partes, también las cíclicas como ex · sen x; y las que piden un cambio de variable (raíces, exponenciales y √(a2 − x2)).
¿Y si no sabe hacerla?
Lo dice en vez de dar un resultado dudoso. Hay integrales cuya primitiva no se puede escribir con funciones elementales, como la de ex2 o la de sen x/x, y otras que no son de Bachillerato (por ejemplo, las racionales con un factor de segundo grado repetido). En una integral definida que no sabe hacer, da también el valor aproximado calculado con números, avisando de que no es exacto.
¿Cómo calcula el área?
Busca los puntos de corte de la curva con el eje X (o de las dos curvas) dentro del intervalo, separa el área en recintos donde la función no cambia de signo, calcula la integral de cada uno con la regla de Barrow y suma sus valores absolutos. Si no escribes el intervalo, usa el recinto que queda entre el primer y el último punto de corte. La gráfica, dibujada con la función, muestra cada recinto con una trama distinta según su signo.
¿Puedo fiarme del resultado?
Cada primitiva se comprueba derivándola: si al derivar no sale la función, la calculadora no la da. Las integrales definidas y las áreas se comparan además con un cálculo numérico independiente. La primitiva puede tener otra forma que la de tu libro, igual de correcta: dos primitivas de la misma función se diferencian solo en una constante.
¿Por qué hay que escribir + C?
Porque una función tiene infinitas primitivas: si F(x) lo es, también F(x) + 5 o F(x) − 2, ya que la derivada de una constante es 0. La C representa cualquier número. En la integral definida la constante no hace falta, porque se anula al restar F(b) − F(a).
¿Cómo escribo la integral?
Basta con la función: x^2 · e^x, 1/(x^2 − 1), sen^2 x, √(4 − x^2). Si escribes la integral entera (∫ x^2 dx), también la entiende, y el diferencial dice la variable: (t + 1) dt se integra respecto de t. Para la integral definida y el área, elige el modo y escribe los límites: valen números, fracciones, π, e o ln 2.
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