Tabla de derivadas
Las derivadas de las funciones elementales y de las compuestas (con la regla de la cadena), y las reglas de derivación, para consultar, practicar tapando las derivadas e imprimir en PDF completa o para completar.
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| Función | y | y′ | y (compuesta) | y′ (regla de la cadena) |
|---|---|---|---|---|
| Constantek es un número | k | 0 | no se aplica | no se aplica |
| Identidad | x | 1 | no se aplica | no se aplica |
| Potencian es cualquier número; también sirve para las raíces (∛x es x elevado a 1/3) | x elevado a n | n por x elevado a n menos 1 | u elevado a n | n por u elevado a n menos 1, por u prima |
| Raíz cuadrada | raíz cuadrada de x | fracción de numerador 1 y denominador 2 raíz cuadrada de x | raíz cuadrada de u | fracción de numerador u prima y denominador 2 raíz cuadrada de u |
| Exponencial de base e | e elevado a x | e elevado a x | e elevado a u | e elevado a u por u prima |
| Exponencial de base aa > 0 | a elevado a x | a elevado a x por logaritmo neperiano de a | a elevado a u | a elevado a u por logaritmo neperiano de a por u prima |
| Logaritmo neperiano | logaritmo neperiano de x | 1 partido por x | logaritmo neperiano de u | u prima partido por u |
| Logaritmo en base aa > 0, a ≠ 1; con a = 10, log x | logaritmo en base a de x | fracción de numerador 1 y denominador x por logaritmo neperiano de a | logaritmo en base a de u | fracción de numerador u prima y denominador u por logaritmo neperiano de a |
| Seno | seno de x | coseno de x | seno de u | coseno de u por u prima |
| Coseno | coseno de x | menos seno de x | coseno de u | menos seno de u por u prima |
| Tangente | tangente de x | fracción de numerador 1 y denominador coseno al cuadrado de x, igual a 1 más tangente al cuadrado de x | tangente de u | fracción de numerador u prima y denominador coseno al cuadrado de u, igual a abre paréntesis 1 más tangente al cuadrado de u cierra paréntesis por u prima |
| Arco seno | arco seno de x | fracción de numerador 1 y denominador raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado | arco seno de u | fracción de numerador u prima y denominador raíz cuadrada de 1 menos u al cuadrado |
| Arco coseno | arco coseno de x | menos fracción de numerador 1 y denominador raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado | arco coseno de u | menos fracción de numerador u prima y denominador raíz cuadrada de 1 menos u al cuadrado |
| Arco tangente | arco tangente de x | fracción de numerador 1 y denominador 1 más x al cuadrado | arco tangente de u | fracción de numerador u prima y denominador 1 más u al cuadrado |
Reglas de derivación
| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Suma y resta | la derivada de u más menos v es u prima más menos v prima |
| Constante por función | la derivada de k por u es k por u prima |
| Producto | la derivada de u por v es u prima por v más u por v prima |
| Cociente | la derivada de u partido por v es u prima por v menos u por v prima, partido por v al cuadrado |
| Regla de la cadena | la derivada de g de u es g prima de u por u prima |
| Derivación logarítmica | la derivada de u elevado a v es u elevado a v por, v prima por logaritmo neperiano de u más v por u prima partido por u |
Tabla de derivadas para imprimir
La tabla completa con las reglas de derivación, o la versión para completar con la solución en otra página. Con o sin las columnas de la función compuesta. PDF en A4 o Carta, en color o en blanco y negro.
Paso 1: Elige un punto de partida
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Tres ejemplos con la regla de la cadena
Se busca la fila de la función de fuera, se copia la derivada de la columna compuesta y se sustituye u por lo de dentro.
- f(x) = sen(x² + 1)f prima de x igual a 2 x por coseno de abre paréntesis x al cuadrado más 1 cierra paréntesis
- f(x) = (3x² − 1)⁴f prima de x igual a 24 x abre paréntesis 3 x al cuadrado menos 1 cierra paréntesis al cubo
- f(x) = ln(x² + 5)f prima de x igual a fracción de numerador 2 x y denominador x al cuadrado más 5
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Cómo se usa la tabla de derivadas
Cada fila tiene dos partes. A la izquierda, la función con x sola y su derivada: son las derivadas inmediatas, las que se aplican directamente. A la derecha, la misma función con u, una función de x cualquiera, y su derivada con la regla de la cadena: es igual que la de la izquierda, pero multiplicada por u′.
Para derivar, se mira primero cuál es la operación de fuera. Si es una suma, un producto o un cociente, se usa su regla (en la tabla de abajo) y se deriva cada parte. Si es una función aplicada a algo que no es x, como ln(x2 + 5), se busca su fila, se toma la columna compuesta y se sustituye u por x2 + 5 y u′ por 2x: el resultado es 2x/(x2 + 5).
Dos detalles que se olvidan a menudo: la derivada del coseno lleva un signo menos, y la de una constante que multiplica no se pierde (la derivada de 5x3 es 15x2). Para comprobar cualquier derivada con todos sus pasos tienes la calculadora de derivadas, y la teoría con ejemplos en el tema de derivadas.
Ideas para clase
- Tabla para completar al empezar el tema: que cada alumno complete la versión en blanco con lo que recuerde y la corrija con la página de soluciones. Lo que falla dice qué repasar.
- Modo práctica en la pizarra digital: en pantalla completa, con las derivadas tapadas, cada alumno destapa una después de decirla en voz alta.
- De la simple a la compuesta: pide la derivada de ex, luego la de e3x y la de ex2. La columna de la derecha muestra qué cambia.
- En el examen: si se permite formulario, la versión en blanco y negro sin las reglas ocupa una sola hoja.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la columna de la función compuesta?
Es la misma derivada cuando en lugar de x hay una función de x, que se llama u. Por la regla de la cadena, se deriva como si u fuera x y se multiplica por u′, la derivada de lo de dentro. Por ejemplo, (sen u)′ = cos u · u′, así que la derivada de sen(x2) es cos(x2) · 2x.
¿Cómo se derivan las raíces que no son cuadradas?
Como potencias de exponente fraccionario: n√x = x1/n. Con la fila de la potencia, la derivada de ∛x = x1/3 es (1/3)·x−2/3 = 1/(3∛x2).
¿Por qué la tangente tiene dos derivadas?
Son la misma: 1/cos2 x = 1 + tg2 x, porque sen2 x + cos2 x = 1. Los libros usan una u otra según el ejercicio; la tabla trae las dos.
¿Cómo practico con la tabla?
Activa el modo práctica: las derivadas quedan tapadas y cada una tiene un botón para verla. Para el papel, descarga la versión para completar, que lleva la tabla completa en la página de soluciones.
¿Puedo imprimirla en blanco y negro?
Sí. En el generador de abajo elige A4 o Carta, completa o para completar, y la opción de blanco y negro: las cabeceras y las bandas de color pasan a gris claro, que se fotocopia bien.
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