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Medidas de dispersión: rango, varianza y desviación típica

Dicen si los datos están agrupados cerca de la media o muy separados: dos grupos con la misma media pueden ser muy distintos.

Calculadora estadística

Ver el ejemplo 1 resuelto

Matemáticas · 1.º, 3.º y 4.º de ESOMatemáticas · Secundaria en México

Por qué no basta la media

Las notas 5, 5, 5, 5 y las notas 0, 10, 0, 10 tienen la misma media, 5, pero cuentan historias muy distintas. Para distinguirlas hay que medir cuánto se separan los datos de su centro. Cuanto mayor es la dispersión, más repartidos están los datos y menos representativa es la media.

Rango, varianza y desviación típica

  • Rango o recorrido: el dato mayor menos el menor. Es rápido, pero solo mira dos datos.
  • Varianza: la media de los cuadrados de las distancias a la media. Se elevan al cuadrado para que las distancias negativas no anulen a las positivas.
  • Desviación típica: la raíz cuadrada de la varianza. Se expresa en las mismas unidades que los datos, por eso es la más usada.
Rangodato mayor − dato menor
Varianzaσ² = Σ (xᵢ − x̄)² / n
Desviación típicaσ = √σ²

Un ejemplo con cuatro datos

Con los datos 2, 4, 6 y 8, la media es 5, las distancias son −3, −1, 1 y 3, y sus cuadrados suman 9 + 1 + 1 + 9 = 20. La varianza es 20 : 4 = 5 y la desviación típica, √5 ≈ 2,24. En los ejercicios de la ESO se suele dividir entre el número total de datos; las calculadoras científicas ofrecen también la versión que divide entre uno menos, pensada para muestras.

σ² = (9 + 1 + 1 + 9)/4 = 20/4 = 5
σ = √5 ≈ 2,24

El coeficiente de variación

Para comparar la dispersión de dos grupos con medias muy diferentes, se divide la desviación típica entre la media: CV = σ / x̄. Suele darse en porcentaje. Si las estaturas de una clase tienen media 160 cm y σ = 8 cm, CV = 8 : 160 = 0,05, es decir, un 5 %. Cuanto menor es el coeficiente, más homogéneo es el grupo.

CV = 8/160 = 0,05 → 5 %

Ejemplos resueltos paso a paso

  1. Ejemplo 1: Minutos que tardan 5 amigos en llegar al instituto. Datos: 10, 12, 15, 8, 20.

    1. Rango (recorrido) = dato mayor − dato menor = 20 − 8 = 12

    2. Media:

      x̄ = 65/5 = 13

      (suma de los datos entre n)

    3. Distancias a la media (xi − x̄): −5, −3, −1, 2, 7.

    4. Cuadrados de las distancias:

      25 + 9 + 1 + 4 + 49 = 88

    5. Varianza:

      σ² = Σ (xi − x̄)² / n = 88/5 = 17,6

    6. Con la fórmula abreviada, σ² = Σ xi² / n − x̄², sale lo mismo:

      933/5 − 13² = 186,6 − 169 = 17,6

      Con media decimal o muchos datos, esa es la más cómoda.

    7. Desviación típica:

      σ = √σ² = √17,6 ≈ 4,20

    8. Si los datos son una muestra, se divide entre n − 1:

      s² = σ² · n/(n − 1) = 17,6 · 5/4 = 22; s = √22 ≈ 4,69

      (desviación típica muestral)

    9. Coeficiente de variación:

      CV = σ/|x̄| = 4,1952/13 ≈ 0,3227, es decir, un 32,27 %

    Solución Rango = 12; σ² = 17,6; σ ≈ 4,20

  2. Ejemplo 2: Horas de deporte a la semana de 20 alumnos. Los datos están en la tabla.

    Tabla de los datos
    xifiFixi·fi
    1333
    26912
    371621
    442016

    1. Rango (recorrido) = dato mayor − dato menor = 4 − 1 = 3

    2. Media:

      x̄ = 52/20 = 2,6

      (Σ xi · fi entre n)

    3. Suma de los cuadrados por su frecuencia:

      Σ xi² · fi = 1² · 3 + 2² · 6 + 3² · 7 + 4² · 4 = 154

    4. Varianza:

      σ² = Σ xi² · fi / n − x̄² = 154/20 − 2,6² = 7,7 − 6,76 = 0,94

    5. Es la media de los cuadrados de las distancias a la media, Σ (xi − x̄)² · fi / n: da lo mismo. Con media entera suele ser más cómoda la de las distancias; con media decimal o muchas filas, la de arriba.

    6. Desviación típica:

      σ = √σ² = √0,94 ≈ 0,97

    7. Si los datos son una muestra, se divide entre n − 1:

      s² = σ² · n/(n − 1) = 0,94 · 20/19 = 94/95 ≈ 0,9895; s = √(94/95) ≈ 0,99

      (desviación típica muestral)

    8. Coeficiente de variación:

      CV = σ/|x̄| = 0,9695/2,6 ≈ 0,3729, es decir, un 37,29 %

    Solución Rango = 3; σ² = 0,94; σ ≈ 0,97

  3. Ejemplo 3: Estatura (cm) de 30 alumnos de 2.º de ESO. Los datos están en la tabla.

    Tabla de los datos
    IntervalocifiFici·fi
    [145, 150)147,533442,5
    [150, 155)152,57101067,5
    [155, 160)157,511211732,5
    [160, 165)162,5526812,5
    [165, 170)167,5430670

    1. Rango (recorrido) = límite superior de la última clase − límite inferior de la primera = 170 − 145 = 25

    2. Media:

      x̄ = 4725/30 = 157,5

      (Σ ci · fi entre n)

    3. Suma de los cuadrados por su frecuencia:

      Σ ci² · fi = 147,5² · 3 + 152,5² · 7 + 157,5² · 11 + 162,5² · 5 + 167,5² · 4 = 745 187,5

    4. Varianza:

      σ² = Σ ci² · fi / n − x̄² = 745 187,5/30 − 157,5² = 100/3 ≈ 33,3333

    5. Es la media de los cuadrados de las distancias a la media, Σ (ci − x̄)² · fi / n: da lo mismo. Con media entera suele ser más cómoda la de las distancias; con media decimal o muchas filas, la de arriba.

    6. Desviación típica:

      σ = √σ² = √(100/3) ≈ 5,77

    7. Si los datos son una muestra, se divide entre n − 1:

      s² = σ² · n/(n − 1) = 100/3 · 30/29 = 1000/29 ≈ 34,4828; s = √(1000/29) ≈ 5,87

      (desviación típica muestral)

    8. Coeficiente de variación:

      CV = σ/|x̄| = 5,7735/157,5 ≈ 0,0367, es decir, un 3,67 %

    Solución Rango = 25; σ² = 100/3 ≈ 33,33; σ ≈ 5,77

Calculadora estadísticaMedia, mediana, moda, cuartiles y desviación típica con los pasos

Errores frecuentes

  • Sumar las distancias a la media sin elevarlas al cuadrado: las positivas y las negativas se compensan y el resultado siempre es 0.
  • Dar la varianza como si fuera la desviación típica: falta hacer la raíz cuadrada.
  • Comparar desviaciones típicas de grupos con medias muy distintas: para eso está el coeficiente de variación.

Ponte a prueba

Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.

  1. 1. ¿Cuál es el rango de 7, 3, 12, 9 y 5?
  2. 2. Calcula la varianza de 1, 3 y 5.
  3. 3. Si la varianza de unos datos es 16, ¿cuál es su desviación típica?
  4. 4. El grupo A tiene media 50 y σ = 5; el grupo B, media 200 y σ = 10. ¿Cuál es más homogéneo?
  5. 5. ¿Qué desviación típica tienen las notas 6, 6, 6 y 6?

Ejercicios de medidas de dispersión para imprimir

Elige el nivel y el número de ejercicios: cada versión sale distinta y, con «Soluciones» marcado, lleva el solucionario en las últimas páginas. PDF en A4 o Carta y Word para editar.

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En qué cursos se veEn qué contenidos del programa se ve

En México, este contenido de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relaciona con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.

Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022). En 1.º, la Orden solo recoge la «Interpretación del rango»; la varianza y la desviación típica llegan en 3.º, con la «Interpretación de la desviación típica». Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.

Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 4.º de ESO, con las soluciones paso a paso.

Qué trabaja según el currículo

Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.

Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

Saberes básicos · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

E. Sentido estocástico

  • Organización y análisis de datos: Variabilidad: interpretación y cálculo, con apoyo tecnológico, de medidas de dispersión en situaciones reales.
  • Organización y análisis de datos: Comparación de dos conjuntos de datos atendiendo a las medidas de localización y dispersión.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

E. Sentido estocástico

  • Organización y análisis de datos: Medidas de localización y dispersión: interpretación y análisis de la variabilidad.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas A · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Saberes básicos · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

E. Sentido estocástico

  • Organización y análisis de datos: Medidas de localización y dispersión: interpretación y análisis de la variabilidad.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

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