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Media, mediana y moda: cómo se calculan y cuándo usar cada una

Son medidas de centralización: resumen los datos en un solo valor típico, cada una a su manera, y no siempre coinciden.

Calculadora estadística

Ver el ejemplo 1 resuelto

Matemáticas · 1.º, 3.º y 4.º de ESOMatemáticas y Biología · Secundaria en México

Cómo se calcula cada una

  • Media: suma todos los datos y divide entre cuántos hay. Las notas 4, 6, 7, 7 y 9 suman 33, y la media es 33 : 5 = 6,6.
  • Mediana: ordena los datos de menor a mayor y quédate con el del centro; en las notas anteriores es 7. Si el número de datos es par, es la media de los dos centrales: en 2, 3, 8 y 10, la mediana es (3 + 8) : 2 = 5,5.
  • Moda: el valor que más se repite; en las notas, el 7. Puede haber dos modas, o ninguna si todos los datos aparecen las mismas veces.
Mediax̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n
Con las notasx̄ = (4 + 6 + 7 + 7 + 9)/5 = 33/5 = 6,6
Mediana de 2, 3, 8 y 10Me = (3 + 8)/2 = 5,5

Con una tabla de frecuencias

Si los datos vienen en una tabla, la media se obtiene multiplicando cada valor por su frecuencia absoluta, sumando esos productos y dividiendo entre el total de datos. Para la mediana, busca el primer valor cuya frecuencia acumulada supera la mitad del total; si algún valor la iguala justo, la mediana es la media entre ese valor y el siguiente. La moda es el valor con la frecuencia más alta.

x̄ = Σ xᵢ · fᵢ / n

Con datos agrupados en intervalos

Cuando hay muchos valores distintos, como estaturas o tiempos, los datos se agrupan en intervalos y cada uno se representa por su marca de clase, ci, el punto medio. La media se calcula como en una tabla, pero con las marcas de clase: x̄ = Σ ci · fi / n.

La mediana está en la clase en la que la frecuencia acumulada llega a n/2, y se afina interpolando dentro de ella: Me = Li + (n/2 − Fi−1)/fi · a. Li es el límite inferior de esa clase, Fi−1 la frecuencia acumulada hasta la clase anterior, fi la frecuencia de la clase y a su amplitud. La clase modal es la de mayor frecuencia; si se pide un número, la moda se estima con Mo = Li + (fi − fi−1)/((fi − fi−1) + (fi − fi+1)) · a, que la acerca a la clase vecina más poblada.

¿Cuál conviene usar?

La media usa todos los datos, pero un valor muy extremo la arrastra. Si cinco personas cobran 1200, 1250, 1300, 1350 y 9000 euros al mes, la media es 2820 euros, aunque cuatro de ellas ganan mucho menos; la mediana, 1300 euros, describe mejor al grupo. La moda es la única que sirve con datos cualitativos, como el color o el deporte favorito.

Ejemplos resueltos paso a paso

  1. Ejemplo 1: Notas de un examen de 8 alumnos. Datos: 6; 7,5; 5; 9; 7,5; 4; 8; 6,5.

    1. Suma de los datos:

      4 + 5 + 6 + 6,5 + 7,5 + 7,5 + 8 + 9 = 53,5

    2. Media:

      x̄ = suma / n = 53,5/8 = 6,6875

    3. Ordena los datos de menor a mayor: 4; 5; 6; 6,5; 7,5; 7,5; 8; 9.

    4. n = 8 es par: la mediana es la media de los dos datos centrales, el 4.º y el 5.º:

      Me = (6,5 + 7,5)/2 = 7

    5. El valor que más se repite es 7,5 (2 veces):

      Mo = 7,5

    Solución x̄ = 6,6875; Me = 7; Mo = 7,5

  2. Ejemplo 2: Número de hermanos y hermanas de 20 alumnos. Los datos están en la tabla.

    Tabla de los datos
    xifiFixi·fi
    0440
    19139
    251810
    32206

    1. Multiplica cada valor por su frecuencia y suma:

      Σ xi · fi = 0 · 4 + 1 · 9 + 2 · 5 + 3 · 2 = 25

    2. Media:

      x̄ = Σ xi · fi / n = 25/20 = 1,25

    3. Busca n/2 en la columna de las frecuencias acumuladas Fi.

    4. n/2 = 10: la primera Fi que lo supera es 13, la de xi = 1:

      Me = 1

    5. El valor que más se repite es 1 (9 veces):

      Mo = 1

    Solución x̄ = 1,25; Me = 1; Mo = 1

  3. Ejemplo 3: Minutos que dedican a leer en un día 40 alumnos de 3.º de ESO. Los datos están en la tabla.

    Tabla de los datos
    IntervalocifiFici·fi
    [0, 10)52210
    [10, 20)151012150
    [20, 30)251628400
    [30, 40)35836280
    [40, 50)45440180

    1. Multiplica cada marca de clase por su frecuencia y suma:

      Σ ci · fi = 5 · 2 + 15 · 10 + 25 · 16 + 35 · 8 + 45 · 4 = 1020

    2. Media:

      x̄ = Σ ci · fi / n = 1020/40 = 25,5

    3. Con datos agrupados, la mediana se calcula interpolando en la clase donde la frecuencia acumulada llega a n/2:

      Me = Li + (n/2 − Fi−1)/fi · a

    4. n/2 = 20 cae en la clase [20, 30) (Fi−1 = 12, fi = 16, amplitud 10):

      Me = 20 + (20 − 12)/16 · 10 = 25

    5. Clase modal: [20, 30) (fi = 16, la mayor). Su marca de clase es 25.

    6. Mo = Li + (fi − fi−1)/((fi − fi−1) + (fi − fi+1)) · a = 20 + (16 − 10)/((16 − 10) + (16 − 8)) · 10 = 170/7 ≈ 24,29

    Solución x̄ = 25,5; Me = 25; clase modal [20, 30), Mo ≈ 24,29

Calculadora estadísticaMedia, mediana, moda, cuartiles y desviación típica con los pasos

Errores frecuentes

  • Calcular la mediana sin ordenar los datos: en 9, 2 y 5 la mediana es 5, no 2.
  • Con una tabla, dividir entre el número de filas en lugar de entre el total de datos, que es la suma de las frecuencias.
  • Confundir la moda con su frecuencia: si el 7 aparece cuatro veces, la moda es 7, no 4.

Ponte a prueba

Cinco preguntas rápidas. Al elegir una respuesta ves si es correcta y por qué.

  1. 1. Calcula la media de 3, 5, 8, 8 y 11.
  2. 2. ¿Cuál es la mediana de 12, 4, 9, 7, 15 y 3?
  3. 3. ¿Cuál es la moda de 2, 3, 3, 5, 5, 5 y 6?
  4. 4. En una tabla, el valor 1 tiene frecuencia 4, el 2 tiene frecuencia 3 y el 3 tiene frecuencia 3. ¿Cuál es la media?
  5. 5. Cinco corredores tardan 50, 52, 51, 53 y 90 segundos. ¿Qué medida representa mejor al grupo?

Ejercicios de media, mediana y moda para imprimir

Elige el nivel y el número de ejercicios: cada versión sale distinta y, con «Soluciones» marcado, lleva el solucionario en las últimas páginas. PDF en A4 o Carta y Word para editar.

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En qué cursos se veEn qué contenidos del programa se ve

En México, estos contenidos de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relacionan con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.

Los cursos de este tema son los de la secuencia de referencia del Ministerio (Orden EFP/754/2022). Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.

Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 1.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 3.º de ESO, con las soluciones paso a paso.

Qué trabaja según el currículo

Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.

Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

Saberes básicos · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º

E. Sentido estocástico

  • Organización y análisis de datos: Medidas de localización: interpretación y cálculo con apoyo tecnológico en situaciones reales.
  • Organización y análisis de datos: Análisis e interpretación de tablas y gráficos estadísticos de variables cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas en contextos reales.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas A · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Saberes básicos · Matemáticas A, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

E. Sentido estocástico

  • Organización y análisis de datos: Medidas de localización y dispersión: interpretación y análisis de la variabilidad.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

Matemáticas B · Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

Saberes básicos · Matemáticas B, Educación Secundaria Obligatoria, 4.º

E. Sentido estocástico

  • Organización y análisis de datos: Medidas de localización y dispersión: interpretación y análisis de la variabilidad.

Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.

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