Regla de tres directa, inversa y compuesta
Un método para los problemas de proporcionalidad: con tres datos conocidos se calcula el cuarto. Antes hay que decidir si la relación es directa o inversa.
¿Directa o inversa?
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número: el doble de cuadernos cuesta el doble. Son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar una, la otra queda dividida: el doble de pintores tarda la mitad de días, si todos trabajan al mismo ritmo.
La pregunta clave es: si hay más de esto, ¿hay más o menos de aquello? Más y más es directa; más y menos, inversa. Pero no basta con que las dos crezcan juntas: la edad y la estatura crecen a la vez y no son proporcionales.
Cómo se resuelve
Se colocan los datos en dos filas, cada magnitud en su columna, con la incógnita x en el hueco que falta:
- Directa: se multiplica en cruz y se divide entre el número que queda. Si 4 cuadernos cuestan $60, 7 cuadernos cuestan x = 7 × 60 ÷ 4 = $105.
- Inversa: se multiplican los dos datos de la misma fila y se divide entre el otro. Si 6 pintores tardan 10 días, 4 pintores tardan x = 6 × 10 ÷ 4 = 15 días.
- Comprueba con sentido común: con más cuadernos se paga más; con menos pintores se tarda más.
La regla de tres compuesta
Cuando intervienen tres magnitudes o más, se compara cada una con la de la incógnita dejando fijas las demás. Cada comparación aporta una razón: si es directa, nueva entre vieja; si es inversa, vieja entre nueva. Si 5 máquinas hacen 300 piezas en 4 horas, 8 máquinas en 6 horas harán x = 300 × 8/5 × 6/4 = 720 piezas: más máquinas, más piezas, y más horas, más piezas.
Regla de tres y porcentajes
Muchos problemas de porcentajes se pueden plantear como una regla de tres directa, con el total en el lugar del 100: si el 100% son 240, el 15% es x = 15 × 240 ÷ 100 = 36. Es el mismo cálculo que multiplicar 240 por 0.15.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Para preparar un pastel para 8 personas se usan 600 g de harina. ¿Cuánta harina hace falta para 5 personas?
Es una proporcionalidad directa: cuantas más personas, más harina.
Colocamos los datos:
8 → 600; 5 → x
En la directa, multiplicamos en cruz y dividimos entre el que queda.
x = 5 × 600/8 = 375
Solución 375 g
Ejemplo 2: 7 pintores tardan 20 días en pintar una escuela. ¿Cuántos días tardarían 4 pintores trabajando al mismo ritmo?
Es una proporcionalidad inversa: cuantos más pintores, menos días.
Colocamos los datos:
7 → 20; 4 → x
En la inversa, el producto se mantiene: multiplicamos los dos datos de la misma fila y dividimos entre el otro.
x = 7 × 20/4 = 35
Solución 35 días
Ejemplo 3: 6 máquinas iguales fabrican 450 piezas en 5 horas. ¿Cuántas piezas fabricarán 8 máquinas en 4 horas?
Comparamos cada magnitud con la incógnita (piezas), dejando la otra fija: con las máquinas, proporcionalidad directa; con las horas, directa.
La directa multiplica por la razón nueva/vieja; la inversa, por la razón vieja/nueva:
x = 450 × 8/6 × 4/5 = 480
Solución 480 piezas
Errores frecuentes
- Usar la regla de tres directa en un problema de proporcionalidad inversa: con más pintores no se tarda más.
- Aplicar la regla de tres a magnitudes que no son proporcionales, como la edad y la estatura.
- Colocar mal los datos: cada magnitud tiene que ir en su columna, con sus unidades.
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En México, este contenido de la secundaria (fase 6 de la Nueva Escuela Mexicana) se relaciona con el tema. Cada página trae lo que dice el programa en cada grado y una ficha con solucionario.
La Orden EFP/754/2022 no nombra la regla de tres: habla de «situaciones de proporcionalidad en diferentes contextos» de 1.º a 3.º y de la «proporcionalidad directa e inversa» en 4.º. En Aulapedia se sitúa en 1.º y 2.º de ESO, cuando se resuelven los primeros problemas de proporcionalidad. Tu comunidad autónoma puede ordenarlo de otra forma: consulta la programación de tu centro.
Para repasarlo en verano o antes de un examen, está en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 1.º de ESO y en el cuadernillo de repaso de Matemáticas de 2.º de ESO, con las soluciones paso a paso.
Qué trabaja según el currículo
Elementos del currículo que se trabajan en este tema, con el texto literal de la norma.
Matemáticas · Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Ver competencias, criterios y saberes · Matemáticas, Educación Secundaria Obligatoria, 1.º a 3.º
Saberes básicos
A. Sentido numérico
- Razonamiento proporcional: Razones y proporciones: comprensión y representación de relaciones cuantitativas.
- Razonamiento proporcional: Situaciones de proporcionalidad en diferentes contextos: análisis y desarrollo de métodos para la resolución de problemas (aumentos y disminuciones porcentuales, rebajas y subidas de precios, impuestos, escalas, cambio de divisas, velocidad y tiempo, etc.).
Fuente: RD 217/2022, enseñanzas mínimas estatales.
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