Funciones exponenciales y logarítmicas: leyes, ecuaciones y gráficas

Qué se pregunta y cómo se resuelve

En una función exponencial, f(x) = a · bˣ, la variable está en el exponente: cada vez que x aumenta una unidad, el valor se multiplica por b. Con a positivo, si b es mayor que 1, la función crece (una población que se duplica, un ahorro con interés compuesto); si b está entre 0 y 1, decrece (una sustancia con su vida media, un vehículo que pierde valor). El valor inicial es a = f(0), y la gráfica se acerca al eje x sin tocarlo. Es la unidad 3 de Matemáticas IV del CCH y el apartado 3.1 de Matemáticas del temario del IPN.

El logaritmo es la operación inversa: log₂ 32 = 5 porque 2⁵ = 32. Un logaritmo es un exponente, y de ahí salen sus leyes: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, el de un cociente es la resta y el de una potencia es el exponente por el logaritmo. Por eso log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2. La gráfica de y = log₂ x es el reflejo de la de y = 2ˣ respecto a la recta y = x: corta al eje x en (1, 0) y se acerca al eje y sin tocarlo.

Las ecuaciones sencillas se resuelven con esas dos ideas. Si los dos lados se pueden escribir con la misma base, se igualan los exponentes: 3ˣ⁻² = 81 = 3⁴ da x − 2 = 4. Si la incógnita está dentro de un logaritmo, se pasa a forma exponencial: log₂ (x + 3) = 4 significa x + 3 = 2⁴. En los problemas de crecimiento y decaimiento, lo primero es contar cuántos periodos caben en el tiempo que se pide.

Cómo usar esta práctica en clase

• Empieza con el problema de las bacterias sin dar la fórmula: una tabla periodo a periodo en el pizarrón hace visible que la cantidad se multiplica y no se suma.
• Antes de usar las leyes de los logaritmos con letras, pide comprobarlas con números: log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 y log₂ 32 = 5.
• Proyecta las preguntas de gráficas descritas con palabras y pide a cada equipo el bosquejo en papel antes de responder.
• Con «Otros números», repite al día siguiente un examen corto: cambian los datos y se mantiene el procedimiento.