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PAU de Matemáticas II: exámenes resueltos y ejercicios tipo PAU

Para preparar las Matemáticas II de la PAU: las preguntas de Madrid y de Andalucía y los bloques que entran, cómo se puntúa la justificación, el examen de 2026 de cada comunidad resuelto paso a paso y once ejercicios originales con solución, listos para imprimir.

PAU · Matemáticas II · 2.º de Bachillerato

Si haces el Bachillerato de Ciencias y Tecnología, la materia de modalidad de la fase de acceso es Matemáticas II (o Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, si cursaste esa en su lugar), así que cuenta para la nota de acceso. Además suele ponderar en los grados de ciencias, ingenierías y ciencias de la salud (cada universidad publica su tabla de ponderaciones). En 90 minutos recorre cuatro bloques: álgebra (matrices, determinantes y sistemas), análisis (límites, derivadas e integrales), geometría en el espacio y probabilidad.

Cómo usar esta guía: prepárate con lo mismo que tendrás en el examen. La tabla de la normal va al final del enunciado en las dos comunidades, así que practica la probabilidad con la tabla impresa; en Andalucía se puede llevar una calculadora no programable, y en Madrid conviene confirmarlo con tu centro. Haz los ejercicios tipo PAU por bloques, empezando por el álgebra, que cae en todos los exámenes, y deja los de 2026 para un simulacro de 90 minutos con el PDF oficial al lado. Las resoluciones usan la notación de los libros españoles (coma decimal, sen y ln); en Madrid las comprobamos con las soluciones que publican las universidades, y en Andalucía, que no las publica, seguimos el reparto de puntos de sus criterios para que veas qué se valora en cada paso.

Los puntos que más se pierden no son de cálculo: discutir un sistema sin justificar los rangos, derivar bien y no comprobar que el punto es un máximo, dar un área negativa o una probabilidad mayor que 1 sin darse cuenta, o terminar sin una frase que responda a la pregunta. Los criterios oficiales puntúan el planteamiento y la justificación por separado, así que escribe siempre qué haces y por qué, aunque la cuenta no te salga.

Cómo está hecha esta guía: la estructura del examen y los criterios, resumidos con nuestras palabras (manda lo que publique cada organismo); los ejercicios tipo PAU, escritos por Aulapedia; y de los exámenes oficiales, solo el enlace, el número de cada pregunta y qué pide, con nuestra resolución. No copiamos sus enunciados ni sus figuras.

Cómo es el examen de Matemáticas II

Comunidad de Madrid

En 2026

  • Cinco preguntas de 2 puntos: tres obligatorias y dos bloques en los que se elige una pregunta de dos.
  • En 2026 fueron obligatorias una de álgebra (rango y ecuación matricial), una de optimización y una de geometría (con un apartado a elegir entre dos); se elegía entre dos de probabilidad y entre dos de análisis.
  • Noventa minutos, con la tabla de la normal al final del examen.

En 2027 se mantiene

  • El modelo orientativo de 2027 mantiene la estructura: cinco preguntas de 2 puntos, tres obligatorias y dos a elegir entre dos.
Cómo corrigen
  • Vale cualquier procedimiento correcto, aunque no sea el de las soluciones orientativas.
  • Se penaliza la falta de justificación razonada o de precisión, y se valoran las estrategias y la toma de decisiones.
  • Cada pregunta tiene su reparto paso a paso: por ejemplo, en una discusión de rango, puntos por cada valor del parámetro y por justificar cada caso.
  • Si un apartado parte de un resultado anterior equivocado, se corrige con ese valor: el error no se paga dos veces (en 2026 lo dicen expresamente en las preguntas de probabilidad).
  • Ortografía y redacción: hasta 1 punto de descuento; las dos primeras faltas no cuentan y desde la tercera se restan 0,10 puntos por falta (criterios generales de 2026).

Fuentes oficiales

La PAU en la Comunidad de Madrid: fechas y notas

Andalucía

En 2026

  • Seis ejercicios de 2,5 puntos: dos obligatorios y dos bloques de dos en los que se elige uno, así que se respondían cuatro.
  • En 2026 fueron obligatorios uno de optimización y uno de geometría; se elegía entre dos de álgebra y entre uno de primitivas y uno de probabilidad.
  • En cada ejercicio, 0,25 puntos valoraban la expresión correcta de los procesos. Calculadora no programable, regla y tabla de la normal.

En 2027 cambia

  • Siete ejercicios de 2 puntos: tres obligatorios y dos bloques de dos; se responden cinco (dos de análisis, uno de álgebra, uno de geometría y uno de probabilidad).
  • El ejercicio 1 es siempre competencial y con contexto, y vale el 20 % de la nota; en total, entre el 25 % y el 40 % del examen tiene enfoque competencial.
  • En cada ejercicio, 0,2 puntos valoran el lenguaje matemático y las estrategias. En probabilidad se trabaja con cuatro decimales.
Cómo corrigen
  • Describir el planteamiento sin resolverlo no basta para la nota completa, y donde se pida una deducción razonada, aplicar una fórmula sin más tampoco.
  • Un error en un apartado (por ejemplo, el valor de un parámetro) no se vuelve a penalizar en los siguientes, si son de dificultad parecida.
  • Los errores en operaciones elementales restan como mucho 0,25 puntos por ejercicio (0,2 desde 2027).
  • Si respondes los dos ejercicios de un bloque optativo, solo se corrige el que aparece primero en tu hoja.
  • Si un valor no aparece en la tabla de la normal, vale interpolar o tomar el más cercano.
  • Ortografía: las dos primeras faltas no penalizan; desde la tercera, 0,1 puntos cada una, hasta 1 punto con la redacción.

Fuentes oficiales

La PAU en Andalucía: fechas y notas

Exámenes oficiales de 2026 resueltos

Abre el examen oficial en otra pestaña (enlazado en cada uno): los datos y las figuras están allí. Resolvemos todas las opciones, para que corrijas la que elegiste.

Comunidad de Madrid · PAU 2026 · convocatoria ordinaria

Abrir el examen oficial (PDF, en otra pestaña)

Examen oficial: Examen de Matemáticas II de Madrid, 3 de junio de 2026, con criterios y soluciones orientativas (PDF). Publicado en Universidad Complutense, «Ejercicios de la PAU convocatoria Ordinaria 2026».

Fecha: 3 de junio de 2026 (exámenes por días en la página de la UCM). Cómo era: Cinco preguntas de 2 puntos en 90 minutos: tres obligatorias (álgebra, un problema de optimización y geometría, esta con un apartado a elegir entre dos) y dos bloques en los que se elige una pregunta (probabilidad y análisis). Con la tabla de la normal al final.

Qué publica el organismo: El mismo PDF trae el examen, los criterios específicos de corrección (cuántos puntos vale cada paso) y unas soluciones que las universidades llaman «documento de trabajo orientativo».

  1. Pregunta 1 (2 puntos)

    Obligatoria · Álgebra: rango y ecuación matricial

    Qué pide: Estudiar el rango de una matriz 3 × 3 que depende de un parámetro λ y, para λ = 2, despejar X en una ecuación matricial.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 1)

    a) Rango de A según λ. (1 punto)

    El menor de orden 2 de las filas 2.ª y 3.ª y las columnas 1.ª y 2.ª no depende de λ y no es nulo:

    determinante de 2 por 2: fila 1, 0 y 1; fila 2, 1 y 0 igual a 0 por 0 menos 1 por 1 igual a menos 1 distinto de 0

    Así que el rango de A es 2 como mínimo, valga lo que valga λ. Para saber si es 3, calculamos el determinante desarrollando por la primera columna (tiene un cero):

    valor absoluto de A igual a 1 por determinante de 2 por 2: fila 1, 1 y lambda menos 1; fila 2, 0 y 1 más 1 por determinante de 2 por 2: fila 1, lambda menos 2 y lambda; fila 2, 1 y lambda menos 1 igual a 1 más abre paréntesis lambda menos 2 cierra paréntesis abre paréntesis lambda menos 1 cierra paréntesis menos lambda
    |A| = λ² − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3)
    • Si λ ≠ 1 y λ ≠ 3: |A| ≠ 0 y rg(A) = 3.
    • Si λ = 1 o λ = 3: |A| = 0, pero hay un menor de orden 2 no nulo, así que rg(A) = 2.

    b) Resolver A² − AX = I con λ = 2. (1 punto)

    Con λ = 2, |A| = 4 − 8 + 3 = −1 ≠ 0: A tiene inversa. Sacamos A factor común por la izquierda (el producto de matrices no es conmutativo, así que el orden importa):

    A² − AX = I ⇔ A(A − X) = I ⇔ A − X = A⁻¹ ⇔ X = A − A⁻¹

    La inversa, por adjuntos: calculamos la matriz adjunta (cada elemento cambiado por su adjunto, con su signo), la trasponemos y dividimos entre |A| = −1.

    A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 1, 0 y 2; fila 2, 0, 1 y 1; fila 3, 1, 0 y 1, Adj abre paréntesis A cierra paréntesis igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 1, 1 y menos 1; fila 2, 0, menos 1 y 0; fila 3, menos 2, menos 1 y 1, traspuesta de la adjunta de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 1, 0 y menos 2; fila 2, 1, menos 1 y menos 1; fila 3, menos 1, 0 y 1
    A elevado a menos 1 igual a fracción de numerador 1 y denominador valor absoluto de A, por traspuesta de la adjunta de A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, menos 1, 0 y 2; fila 2, menos 1, 1 y 1; fila 3, 1, 0 y menos 1
    X igual a A menos A elevado a menos 1 igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 2, 0 y 0; fila 2, 1, 0 y 0; fila 3, 0, 0 y 2

    Comprobación: A · X da la matriz con filas (2, 0, 4), (1, 0, 2) y (2, 0, 2), que es justo A² − I.

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas: rango 2 para λ = 1 y λ = 3 y rango 3 en el resto, y la misma matriz X. Ellos despejan X = A⁻¹(A² − I); sacar A factor común lleva al mismo resultado con menos cuentas.

    Para repasar: Rango de una matriz · Matriz inversa · Calculadora de matrices

  2. Pregunta 2 (2 puntos)

    Obligatoria · Análisis: optimización

    Qué pide: Elegir las medidas de una zona rectangular techada dentro de un jardín triangular para que el suelo cueste lo menos posible.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 2)

    Ponemos el ángulo recto en el origen, el cateto de 56 m sobre el eje X y el de 42 m sobre el eje Y. El rectángulo techado mide x (en la dirección del cateto de 56 m) por y, y su vértice opuesto al origen está en la hipotenusa:

    x/56 + y/42 = 1 ⇒ y = 42 − 3x/4, 0 < x < 56

    El jardín mide 56 · 42 / 2 = 1176 m². La parte techada cuesta 30 €/m² y el resto, 50 €/m²:

    C = 30xy + 50(1176 − xy) = 58 800 − 20xy
    C abre paréntesis x cierra paréntesis igual a 58 800 menos 20x abre paréntesis 42 menos 3x partido por 4 cierra paréntesis igual a 15 x al cuadrado menos 840x más 58 800
    C prima de x igual a 30x menos 840 igual a 0 implica x igual a 28, C segunda de x igual a 30 mayor que 0

    Es un mínimo. Entonces y = 42 − 21 = 21. La zona techada mide 28 m por 21 m (lados paralelos a los catetos de 56 m y de 42 m) y el suelo cuesta C(28) = 47 040 €.

    Para entenderlo: el suelo techado es el más barato, así que abaratar la obra es hacer el rectángulo lo más grande posible. El de área máxima inscrito en un triángulo rectángulo tiene de lados la mitad de cada cateto.

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas (28 m por 21 m). El coste mínimo, 47 040 €, no lo pide el examen: lo damos para que compruebes tu función.

    Para repasar: Derivadas y optimización · Calculadora de derivadas

  3. Pregunta 3 (2 puntos)

    Obligatoria (el apartado b deja elegir entre b1 y b2) · Geometría en el espacio

    Qué pide: Simétrico de un punto respecto de un plano y, a elegir, la distancia del plano a una recta o el plano que contiene la recta y es perpendicular al dado.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 3)

    a) Simétrico de P(2, 0, 0) respecto de π: 2x + 2y − z = 13. (1 punto)

    La recta perpendicular a π por P lleva la dirección del vector normal n = (2, 2, −1): (x, y, z) = (2 + 2t, 2t, −t). La cortamos con π:

    2(2 + 2t) + 2(2t) − (−t) = 13 ⇒ 4 + 9t = 13 ⇒ t = 1

    El pie de la perpendicular es M(4, 2, −1), punto medio entre P y su simétrico Q:

    Q = 2M − P = (8 − 2, 4 − 0, −2 − 0) = (6, 4, −2)

    b1) Distancia entre π y la recta r. (1 punto)

    La recta pasa por P(2, 0, 0) con vector director v = (1, 1, 4). Como v · n = 2 + 2 − 4 = 0, la recta es paralela a π o está contenida en él; P no cumple la ecuación (2 · 2 = 4 ≠ 13), así que es paralela. La distancia es la de cualquiera de sus puntos al plano:

    d(r, π) = d(P, π) = |2 · 2 + 2 · 0 − 0 − 13|/√(4 + 4 + 1) = 9/3 = 3 u

    b2) Plano que contiene a r y es perpendicular a π. (1 punto)

    Ese plano contiene a P(2, 0, 0) y a la dirección v = (1, 1, 4) de la recta, y por ser perpendicular a π contiene también la dirección de su normal n = (2, 2, −1). Su vector normal es v × n:

    v × n = (1 · (−1) − 4 · 2, 4 · 2 − 1 · (−1), 1 · 2 − 1 · 2) = (−9, 9, 0)

    Tomamos (1, −1, 0), que es proporcional: (x − 2) − (y − 0) = 0, es decir, x − y − 2 = 0. Comprobación: el punto (3, 1, 4) de r lo cumple y (1, −1, 0) · (2, 2, −1) = 0.

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas: Q(6, 4, −2), distancia 3 y el plano x − y − 2 = 0 (ellos lo sacan con un determinante; es la misma cuenta).

    Para repasar: Determinante de una matriz (regla de Sarrus)

  4. Pregunta 4.1 (2 puntos)

    A elegir entre 4.1 y 4.2 · Probabilidad: normal y binomial

    Qué pide: Probabilidad de que una batería sea defectuosa con una normal y, en un lote de diez teléfonos, de que como mucho uno falle.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 4.1)

    a) P(duración < 21 h) con X ~ N(24; 3). (1 punto)

    Tipificamos con Z = (X − 24)/3 y usamos la tabla y la simetría de la normal:

    P de X menor que 21 igual a P abre paréntesis Z menor que fracción de numerador 21 menos 24 y denominador 3 cierra paréntesis igual a P de Z menor que menos 1 igual a 1 menos P de Z menor o igual que 1 igual a 1 menos 0,8413 igual a 0,1587

    b) Al menos 9 de 10 baterías no defectuosas. (1 punto)

    Sea Y el número de baterías defectuosas del lote: n = 10 pruebas independientes con p = 0,1587, así que Y ~ B(10; 0,1587). «Al menos 9 buenas» es lo mismo que «como mucho una defectuosa», Y ≤ 1:

    P(Y ≤ 1) = 0,8413¹⁰ + 10 · 0,1587 · 0,8413⁹
    P(Y ≤ 1) ≈ 0,1776 + 0,3351 ≈ 0,5127

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas (0,1587 y 0,5127).

    Para repasar: Distribución normal · Distribución binomial · Tabla de la normal · Calculadora binomial

  5. Pregunta 4.2 (2 puntos)

    A elegir entre 4.1 y 4.2 · Probabilidad: sucesos y condicionada

    Qué pide: Con P(B), la probabilidad de que no ocurra ni A ni B y una condicionada, hallar la probabilidad del contrario de A, la de la intersección y otra condicionada.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 4.2)

    a) P(Aᶜ) y P(A ∩ B). (1 punto)

    Datos: P(B) = 0,4; la probabilidad de que no ocurra ni A ni B, 0,4; y P(B | A) = 0,2.

    Que no ocurra ni A ni B es el contrario de A ∪ B, así que P(A ∪ B) = 1 − 0,4 = 0,6. Por la definición de condicionada, P(A ∩ B) = P(B | A) · P(A) = 0,2 · P(A). Con la probabilidad de la unión:

    0,6 = P(A) + 0,4 − 0,2 · P(A) ⇒ 0,8 · P(A) = 0,2 ⇒ P(A) = 0,25

    Por tanto, P(Aᶜ) = 1 − 0,25 = 0,75 (Aᶜ es el contrario de A, que el examen escribe con una barra encima) y P(A ∩ B) = 0,2 · 0,25 = 0,05.

    b) P(A ∩ B condicionado a A ∪ B). (1 punto)

    Como A ∩ B está dentro de A ∪ B, la intersección de los dos es A ∩ B:

    P(A ∩ B | A ∪ B) = P(A ∩ B)/P(A ∪ B) = 0,05/0,6 = 1/12 ≈ 0,0833

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas (0,75; 0,05 y 1/12).

    Para repasar: Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

  6. Pregunta 5.1 (2 puntos)

    A elegir entre 5.1 y 5.2 · Análisis: integral definida y área

    Qué pide: Área del recinto limitado por la gráfica del logaritmo neperiano, el eje de abscisas y una recta vertical.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 5.1)

    La gráfica de ln x corta el eje en x = 1 y entre 1 y e es positiva, así que el área es la integral entre 1 y e. La primitiva sale por partes, con u = ln x (du = dx/x) y dv = dx (v = x):

    integral de logaritmo neperiano de x, de x igual a x logaritmo neperiano de x menos integral de 1, de x igual a x logaritmo neperiano de x menos x más C
    Área igual a integral de 1 a e de logaritmo neperiano de x, de x igual a x logaritmo neperiano de x menos x, evaluado entre 1 y e, igual a abre paréntesis e menos e cierra paréntesis menos abre paréntesis 0 menos 1 cierra paréntesis igual a 1 u al cuadrado

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas: 1 u².

    Para repasar: Integral definida y áreas · Integración por partes · Calculadora de integrales

  7. Pregunta 5.2 (2 puntos)

    A elegir entre 5.1 y 5.2 · Análisis: continuidad, derivabilidad y recta tangente

    Qué pide: Hallar dos parámetros para que una función definida a trozos sea continua y derivable en x = 0, y la recta tangente en x = 2.

    Ver nuestra resolución (Pregunta 5.2)

    a) Valores de a y b. (1 punto)

    f de x igual a llave: 3 x al cuadrado menos seno de ax más b, si x menor que 0; fracción de numerador 2 e elevado a x y denominador 1 más x al cuadrado, si x mayor o igual que 0

    Continuidad en 0: por la izquierda el límite es 3 · 0 − sen 0 + b = b, y f(0) = 2 · 1 / 1 = 2. Tiene que ser b = 2.

    Derivabilidad en 0: derivamos cada rama fuera del 0 y comparamos las derivadas laterales.

    x menor que 0: f prima de x igual a 6x menos a coseno de ax implica f prima de 0 elevado a menos igual a menos a
    x mayor que 0: f prima de x igual a fracción de numerador 2 e elevado a x abre paréntesis 1 más x al cuadrado cierra paréntesis menos 2 e elevado a x por 2x y denominador abre paréntesis 1 más x al cuadrado cierra paréntesis al cuadrado, igual a fracción de numerador 2 e elevado a x abre paréntesis x menos 1 cierra paréntesis al cuadrado y denominador abre paréntesis 1 más x al cuadrado cierra paréntesis al cuadrado, implica f prima de 0 elevado a más igual a 2

    Tienen que coincidir: −a = 2, así que a = −2 y b = 2.

    b) Recta tangente en x = 2. (1 punto)

    x = 2 está en la rama de la derecha:

    f de 2 igual a fracción de numerador 2 e al cuadrado y denominador 5, f prima de 2 igual a fracción de numerador 2 e al cuadrado por 1 y denominador 25, igual a fracción de numerador 2 e al cuadrado y denominador 25
    y − 2e²/5 = (2e²/25)(x − 2) ⇔ y = (2e²/25)x + 6e²/25

    Con decimales, y ≈ 0,5911x + 1,7734.

    Comparado con lo oficial: Coincide con las soluciones orientativas (a = −2, b = 2 y la misma recta tangente, que ellos dejan en forma punto-pendiente).

    Para repasar: Límites y continuidad · Derivadas y recta tangente · Calculadora de derivadas

Andalucía · PAU 2026 · convocatoria ordinaria (examen titular)

Abrir el examen oficial (PDF, en otra pestaña)

Examen oficial: Exámenes y criterios de Matemáticas II de Andalucía, 2026 (ZIP oficial) (ZIP de 4,2 MB; el examen resuelto aquí es «Ordinaria_Titular/Examen Titular Matematicas II.pdf», con sus criterios al lado). Publicado en Distrito Único Andaluz, exámenes de años anteriores y orientaciones por materia.

Fecha: 3 de junio de 2026 (horario oficial, BOJA n.º 220, de 14 de noviembre de 2025). Cómo era: En 2026, seis ejercicios de 2,5 puntos en 90 minutos: dos obligatorios y dos bloques de dos en los que se elige uno, así que se responden cuatro. En cada ejercicio, 0,25 puntos valoran cómo se expresan los procesos. Calculadora no programable y tabla de la normal.

Qué publica el organismo: La Junta publica un ZIP por materia con el examen titular y los suplentes de cada convocatoria y sus criterios específicos de corrección, que reparten la puntuación de cada ejercicio. No publica soluciones.

  1. Ejercicio 1 (2,5 puntos)

    Obligatorio · Análisis: optimización

    Qué pide: Medidas de una ventana rectangular rematada por un semicírculo que, con un perímetro dado, deja entrar la máxima luz.

    Ver nuestra resolución (Ejercicio 1)

    Llamamos x al ancho de la ventana (diámetro del semicírculo, radio x/2) y h al alto de la parte rectangular. El perímetro es la base, los dos lados y el arco:

    x + 2h + πx/2 = 8 ⇒ h = 4 − (2 + π)x/4

    Entra más luz cuanto mayor es la superficie (rectángulo más semicírculo):

    S = xh + πx²/8 ⇒ S(x) = 4x − (4 + π)x²/8, 0 < x < 16/2 + π
    S prima de x igual a 4 menos fracción de numerador abre paréntesis 4 más pi cierra paréntesis x y denominador 4, igual a 0 implica x igual a fracción de numerador 16 y denominador 4 más pi, aproximadamente igual a 2,24 m
    S segunda de x igual a menos fracción de numerador 4 más pi y denominador 4, menor que 0 abre paréntesis máximo cierra paréntesis
    h = 4 − 2 + π/4 · 16/4 + π = 8/4 + π ≈ 1,12 m

    La ventana mide unos 2,24 m de ancho y la parte rectangular, unos 1,12 m de alto, que es justo el radio del semicírculo: el alto total es el ancho. Superficie máxima: 32/(4 + π) ≈ 4,48 m².

    Comparado con lo oficial: Andalucía no publica soluciones. Sus criterios dan puntos por plantear la superficie con dos variables, por la ecuación del perímetro y por la función de una sola variable: la resolución recoge esos tres pasos. Comprobado por código (barrido de la función y derivada).

    Para repasar: Derivadas y optimización

  2. Ejercicio 2 (2,5 puntos)

    Obligatorio · Geometría en el espacio

    Qué pide: Valores de un parámetro para que cuatro puntos sean coplanarios y, con un valor concreto, área de un triángulo y volumen de un tetraedro.

    Ver nuestra resolución (Ejercicio 2)

    a) Valores de m para que A, B, C y D sean coplanarios. (1 punto)

    Son coplanarios si los vectores que salen de A son linealmente dependientes, es decir, si su producto mixto es 0:

    AB = (1, m − 2, 1), AC = (2, 2, 2), AD = (0, −3, m)
    determinante de 3 por 3: fila 1, 1, m menos 2 y 1; fila 2, 2, 2 y 2; fila 3, 0, menos 3 y m igual a abre paréntesis 2m más 6 cierra paréntesis menos abre paréntesis m menos 2 cierra paréntesis por 2m menos 6 igual a menos 2 m al cuadrado más 6m igual a menos 2m abre paréntesis m menos 3 cierra paréntesis

    Se anula para m = 0 y para m = 3: son los dos valores pedidos.

    b) Con m = 1: área del triángulo ABC y volumen del tetraedro ABCD. (1,5 puntos)

    Con m = 1, AB = (1, −1, 1) y AC = (2, 2, 2). El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial:

    AB × AC = (−2 − 2, 2 − 2, 2 + 2) = (−4, 0, 4), |AB × AC| = √32 = 4√2
    Área = 4√2/2 = 2√2 ≈ 2,83 u²

    El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto, que con m = 1 vale −2 · 1 · (1 − 3) = 4:

    V = |4|/6 = 2/3 u³

    Comparado con lo oficial: Andalucía no publica soluciones; los criterios dan hasta 0,5 puntos al planteamiento en cada apartado (producto mixto, producto vectorial). Comprobado por código con aritmética exacta.

    Para repasar: Determinantes

  3. Ejercicio 3.1 (2,5 puntos)

    Bloque con optatividad 1: elegir 3.1 o 3.2 · Álgebra: sistemas con un parámetro

    Qué pide: Discutir un sistema de tres ecuaciones lineales según un parámetro a y resolverlo para a = 0.

    Ver nuestra resolución (Ejercicio 3.1)

    a) Discusión según a. (1,75 puntos)

    La matriz de coeficientes y su determinante (desarrollando por la primera columna, que solo tiene un elemento no nulo):

    A igual a matriz de 3 por 3: fila 1, 3, menos 1 y 0; fila 2, 0, 1 menos a y 2; fila 3, 0, 4 y 3 menos a, valor absoluto de A igual a 3 abre corchete abre paréntesis 1 menos a cierra paréntesis abre paréntesis 3 menos a cierra paréntesis menos 8 cierra corchete igual a 3 abre paréntesis a al cuadrado menos 4a menos 5 cierra paréntesis igual a 3 abre paréntesis a menos 5 cierra paréntesis abre paréntesis a más 1 cierra paréntesis
    • Si a ≠ 5 y a ≠ −1: rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas. Sistema compatible determinado.
    • Si a = 5: la segunda ecuación es −4y + 2z = 0 y la tercera, 4y − 2z = 0, la misma cambiada de signo (los términos independientes son 0 y 0). Hay un menor de orden 2 no nulo, |3 −1; 0 −4| = −12, así que rg(A) = rg(A*) = 2 < 3. Sistema compatible indeterminado.
    • Si a = −1: la segunda ecuación da 2y + 2z = 0 (y + z = 0) y la tercera, 4y + 4z = −6 (y + z = −3/2): se contradicen. rg(A) = 2 y rg(A*) = 3 (el menor de las columnas de x, y y del término independiente vale 3 · (2 · (−6) − 0) = −36). Sistema incompatible.

    b) Resolver para a = 0. (0,75 puntos)

    Con a = 0 el sistema es compatible determinado: 3x − y = 0, y + 2z = 0, 4y + 3z = −5. De la segunda, y = −2z; en la tercera, −8z + 3z = −5, así que z = 1 e y = −2; de la primera, x = y/3 = −2/3.

    x = −2/3, y = −2, z = 1

    Comparado con lo oficial: Andalucía no publica soluciones; los criterios puntúan el cálculo de |A| y la búsqueda de los valores críticos, como aquí. Discusión comprobada con el motor de matrices del sitio (rangos para cada valor de a) y la solución, por sustitución.

    Para repasar: Sistemas de ecuaciones lineales (Rouché) · Calculadora de matrices

  4. Ejercicio 3.2 (2,5 puntos)

    Bloque con optatividad 1: elegir 3.1 o 3.2 · Álgebra: propiedades de los determinantes

    Qué pide: Con una matriz 3 × 3 de determinante −2, calcular otro determinante y el de un producto de matrices sin desarrollarlos.

    Ver nuestra resolución (Ejercicio 3.2)

    a) Determinante con filas construidas a partir de las de A. (1,5 puntos)

    Llamamos F₁ = (α, β, 1), F₂ = (2, α, β) y F₃ = (3, 4, α) a las filas de A. Las del determinante pedido son −F₃, F₁ − F₂ y 4F₂. Aplicamos las propiedades:

    • Un factor común de una fila sale fuera: −1 de la primera y 4 de la tercera.
    • Sumar a una fila otra multiplicada por un número no cambia el determinante: a F₁ − F₂ le sumamos la tercera, F₂.
    • Intercambiar dos filas cambia el signo: de (F₃, F₁, F₂) a (F₁, F₂, F₃) hay dos intercambios, y el signo no cambia.
    |−F₃, F₁ − F₂, 4F₂| = (−1) · 4 · |F₃, F₁, F₂| = −4 · |A| = −4 · (−2) = 8

    b) Determinante de A⁻¹ (Aᵗ)² A. (1 punto)

    El determinante de un producto es el producto de los determinantes, |Aᵗ| = |A| y |A⁻¹| = 1/|A|:

    | A elevado a menos 1 abre paréntesis A elevado a t cierra paréntesis al cuadrado A| igual a fracción de numerador 1 y denominador valor absoluto de A, por valor absoluto de A al cuadrado por valor absoluto de A igual a valor absoluto de A al cuadrado igual a 4

    Comparado con lo oficial: Andalucía no publica soluciones; los criterios dan casi toda la puntuación a aplicar bien las propiedades. Comprobado por código con varios valores de α y β: el determinante pedido es siempre −4 · |A|.

    Para repasar: Determinante de una matriz

  5. Ejercicio 4.1 (2,5 puntos)

    Bloque con optatividad 2: elegir 4.1 o 4.2 · Análisis: cálculo de primitivas

    Qué pide: Hallar la primitiva de una función con exponenciales cuya gráfica tiene una recta tangente dada en x = 0.

    Ver nuestra resolución (Ejercicio 4.1)

    Con el cambio que sugiere el examen, t = eˣ, dt = eˣ dx (dx = dt/t):

    integral de fracción de numerador 8 e elevado a x menos 4 e elevado a 2x y denominador 1 más e elevado a x, de x igual a integral de fracción de numerador 8t menos 4 t al cuadrado y denominador 1 más t, por 1 partido por t, de t igual a integral de fracción de numerador 8 menos 4t y denominador 1 más t, de t

    Dividimos: (8 − 4t)/(1 + t) = −4 + 12/(1 + t).

    integral de menos 4 más fracción de numerador 12 y denominador 1 más t, de t igual a menos 4t más 12 logaritmo neperiano de 1 más t más C igual a menos 4 e elevado a x más 12 logaritmo neperiano abre paréntesis 1 más e elevado a x cierra paréntesis más C

    La tangente en x = 0 es y = 2x + 12 ln 2, así que la gráfica pasa por (0, 12 ln 2). (Su pendiente, 2, coincide con f(0) = (8 − 4)/2: es coherente.)

    F(0) = −4 + 12 ln 2 + C = 12 ln 2 ⇒ C = 4
    F(x) = −4eˣ + 12 ln(1 + eˣ) + 4

    Comparado con lo oficial: Andalucía no publica soluciones; los criterios dan 1,75 puntos al cálculo de la integral indefinida. Comprobado derivando F en varios puntos (coincide con f) y con el motor de integrales del sitio.

    Para repasar: Integrales: cambio de variable · Calculadora de integrales

  6. Ejercicio 4.2 (2,5 puntos)

    Bloque con optatividad 2: elegir 4.1 o 4.2 · Probabilidad: probabilidad total y Bayes

    Qué pide: Dos extracciones encadenadas entre dos bolsas de monedas: una probabilidad condicionada directa y otra «al revés» con el teorema de Bayes.

    Ver nuestra resolución (Ejercicio 4.2)

    a) P(segunda de oro | primera de plata). (0,75 puntos)

    Llamamos Pl₁ y O₁ a que la moneda que pasa de la primera bolsa sea de plata o de oro, y O₂ a que la que se saca de la segunda sea de oro. Si la que pasa es de plata, la segunda bolsa queda con 6 de oro y 4 de plata (10 monedas):

    P(O₂ | Pl₁) = 6/10 = 3/5 = 0,6

    b) P(primera de plata | segunda de oro). (1,75 puntos)

    Por la probabilidad total (si pasa una de oro, la segunda bolsa queda con 7 de oro de 10):

    P(O₂) = 2/5 · 7/10 + 3/5 · 6/10 = 14/50 + 18/50 = 32/50 = 16/25

    Y por el teorema de Bayes:

    P(Pl₁ | O₂) = P(Pl₁) · P(O₂ | Pl₁)/P(O₂) = (18/50)/(32/50) = 9/16 = 0,5625

    Comparado con lo oficial: Andalucía no publica soluciones; los criterios dan puntos por identificar cada probabilidad como condicionada y por aplicar Bayes. Comprobado con fracciones exactas y con la calculadora del teorema de Bayes del sitio.

    Para repasar: Teorema de Bayes · Calculadora del teorema de Bayes

Qué entra en Matemáticas II

Los exámenes se hacen con los saberes básicos de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato del RD 243/2022. Por bloques, lo que suele caer y con qué repasarlo en Aulapedia:

Álgebra: matrices, determinantes y sistemas

Operaciones con matrices, propiedades de los determinantes, rango, inversa, ecuaciones matriciales y sistemas lineales con un parámetro (Rouché-Frobenius, Gauss y Cramer). Cae en todos los exámenes, y la discusión según un parámetro es la pregunta más repetida: practica hasta que factorizar el determinante y estudiar cada valor crítico sea automático.

Repásalo en Aulapedia

Saberes del currículo (RD 243/2022)
  • MAT2 A.1.1 Adición y producto de vectores y matrices: interpretación, comprensión y uso adecuado de las propiedades.
  • MAT2 A.2.1 Conjuntos de vectores y matrices: estructura, comprensión y propiedades.
  • MAT2 D.2.2 Sistemas de ecuaciones: modelización de situaciones en diversos contextos.
  • MAT2 D.2.3 Técnicas y uso de matrices para, al menos, modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones lineales o grafos.
  • MAT2 D.3.2 Resolución de sistemas de ecuaciones en diferentes contextos.
  • MAT2 D.5.2 Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices, los determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Análisis: límites, derivadas e integrales

Límites y continuidad (con L'Hôpital y funciones a trozos), derivadas y sus aplicaciones (recta tangente, monotonía, extremos y optimización con contexto) e integrales (inmediatas, por partes, cambio de variable y racionales; áreas con la regla de Barrow). Ocupa dos de las cinco preguntas, y la de optimización suele ser la más competencial.

Repásalo en Aulapedia

Saberes del currículo (RD 243/2022)
  • MAT2 B.1.2 Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.
  • MAT2 B.1.3 Cálculo de áreas bajo una curva: técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
  • MAT2 B.1.4 Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas o volúmenes de revolución.
  • MAT2 B.2.1 Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites.
  • MAT2 B.2.2 Aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad a la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser modelizadas mediante funciones.
  • MAT2 B.2.3 La derivada como razón de cambio en la resolución de problemas de optimización en contextos diversos.
  • MAT2 D.4.2 Propiedades de las distintas clases de funciones: comprensión y comparación.

Geometría en el espacio

Rectas y planos: ecuaciones, posiciones relativas, distancias, ángulos, simétricos y planos que cumplen varias condiciones; áreas y volúmenes con los productos vectorial y mixto. Es la parte en la que más ayuda un dibujo a mano alzada antes de empezar las cuentas. En Aulapedia todavía no hay un tema de geometría en el espacio: los productos vectorial y mixto se calculan como un determinante de orden 3, y eso sí puedes repasarlo en el tema de determinantes.

Repásalo en Aulapedia

Saberes del currículo (RD 243/2022)
  • MAT2 C.1.1 Objetos geométricos de tres dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos.
  • MAT2 C.1.2 Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el espacio representados con coordenadas cartesianas.
  • MAT2 C.2.2 Expresiones algebraicas de los objetos geométricos en el espacio: selección de la más adecuada en función de la situación a resolver.
  • MAT2 C.3.2 Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos...) para resolver problemas en el espacio. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.

Probabilidad

Probabilidad condicionada, total y teorema de Bayes, con árboles y tablas de contingencia; distribuciones binomial y normal, con la tabla y la tipificación. El error típico es no definir los sucesos o la variable: empieza siempre diciendo qué es X y qué distribución sigue.

Repásalo en Aulapedia

Saberes del currículo (RD 243/2022)
  • MAT2 E.1.1 Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.
  • MAT2 E.1.2 Teoremas de la probabilidad total y de Bayes: resolución de problemas e interpretación del teorema de Bayes para actualizar la probabilidad a partir de la observación y la experimentación y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.
  • MAT2 E.2.1 Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución.
  • MAT2 E.2.2 Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.

11 ejercicios tipo PAU de Matemáticas II con solución

Cada uno vale 2 puntos, como en 2027. Intenta cada apartado antes de abrir su solución.

  1. 1 El obrador de pan (2 puntos)

    Álgebra: sistemas de ecuaciones

    Un obrador de barrio hace cada mañana tres clases de pan: barras, que llevan 250 g de harina cada una; hogazas integrales, con 300 g, y panes de centeno, con 400 g. Vende cada barra a 0,90 €, cada integral a 1,50 € y cada pan de centeno a 2 €. Un sábado hornearon 200 panes, gastaron 58 kg de harina y lo vendieron todo por 248 €.

    1. a)

      Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántos panes de cada clase hornearon.

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 1

      Llamamos x al número de barras, y al de integrales y z al de panes de centeno. Contamos panes, kilos de harina y euros:

      x + y + z = 200; 0,25x + 0,30y + 0,40z = 58; 0,9x + 1,5y + 2z = 248

      Para trabajar con enteros, multiplicamos la segunda ecuación por 20 y la tercera por 10:

      x + y + z = 200; 5x + 6y + 8z = 1160; 9x + 15y + 20z = 2480
    2. b)

      Resuélvelo por el método de Gauss.

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 1

      Hacemos ceros debajo del primer elemento (F₂ → F₂ − 5F₁ y F₃ → F₃ − 9F₁) y luego debajo del segundo (F₃ → F₃ − 6F₂):

      matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 1 y 1, tras la barra, 200; fila 2, 5, 6 y 8, tras la barra, 1160; fila 3, 9, 15 y 20, tras la barra, 2480 tiende a matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 1 y 1, tras la barra, 200; fila 2, 0, 1 y 3, tras la barra, 160; fila 3, 0, 6 y 11, tras la barra, 680 tiende a matriz ampliada de 3 por 4: fila 1, 1, 1 y 1, tras la barra, 200; fila 2, 0, 1 y 3, tras la barra, 160; fila 3, 0, 0 y menos 7, tras la barra, menos 280

      De abajo arriba: z = 40; y = 160 − 3 · 40 = 40; x = 200 − 40 − 40 = 120. Hornearon 120 barras, 40 integrales y 40 panes de centeno (comprobación: 30 + 12 + 16 = 58 kg y 108 + 60 + 80 = 248 €).

    3. c)

      El sábado siguiente alguien apunta 200 panes, 58 kg de harina y 260 € de caja, y se vendió todo. ¿Pueden ser ciertos esos datos? Razónalo.

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 1

      Cambia solo el término independiente de la tercera ecuación (9x + 15y + 20z = 2600). Con las mismas operaciones, la última fila queda −7z = −160, así que z = 160/7 ≈ 22,86.

      El sistema tiene solución (la matriz de coeficientes es la misma, de determinante distinto de cero), pero no es un número entero de panes: los datos no pueden ser ciertos. Alguna de las tres cifras está mal apuntada.

    Para repasar: Sistemas de ecuaciones lineales · Calculadora de matrices

  2. 2 Un sistema con un parámetro (2 puntos)

    Álgebra: discusión de sistemas

    Considera el sistema de ecuaciones lineales

    Datos

    (a + 1)x + y + z = 3; x + 2y + az = 4; x + ay + 2z = 2
    1. a)

      Discútelo según los valores del parámetro a.

      1,25 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 2
      valor absoluto de A igual a determinante de 3 por 3: fila 1, a más 1, 1 y 1; fila 2, 1, 2 y a; fila 3, 1, a y 2 igual a abre paréntesis a más 1 cierra paréntesis abre paréntesis 4 menos a al cuadrado cierra paréntesis menos abre paréntesis 2 menos a cierra paréntesis más abre paréntesis a menos 2 cierra paréntesis igual a a abre paréntesis 2 menos a cierra paréntesis abre paréntesis a más 3 cierra paréntesis

      Se anula para a = 0, a = 2 y a = −3.

      • Si a ≠ 0, 2 y −3: rg(A) = rg(A*) = 3. Sistema compatible determinado (solución única).
      • Si a = 0: el menor |1 1; 1 2| = 1 ≠ 0 da rg(A) = 2. Los dos menores de orden 3 que lo orlan, |A| y el formado con la columna de términos independientes (columnas 1.ª, 2.ª y la de términos), valen 0, así que rg(A*) = 2. Sistema compatible indeterminado.
      • Si a = 2: la segunda ecuación es x + 2y + 2z = 4 y la tercera, x + 2y + 2z = 2. Se contradicen: rg(A) = 2 y rg(A*) = 3. Sistema incompatible.
      • Si a = −3: al sumar las tres ecuaciones queda 0 = 9. rg(A) = 2 y rg(A*) = 3. Sistema incompatible.
    2. b)

      Resuélvelo para a = 0.

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 2

      Con a = 0 quedan x + y + z = 3, x + 2y = 4 y x + 2z = 2, y sobra una (la primera es la media de las otras dos). Tomamos y = λ: de la segunda, x = 4 − 2λ; de la tercera, z = (2 − x)/2 = λ − 1.

      x = 4 − 2λ, y = λ, z = λ − 1 (λ ∈ ℝ)

      Comprobación en la primera: (4 − 2λ) + λ + (λ − 1) = 3.

    Para repasar: Sistemas de ecuaciones lineales · Calculadora de matrices · Determinantes

  3. 3 Mensajes cifrados con matrices (2 puntos)

    Álgebra: matrices

    Dos amigas se mandan mensajes cifrados. Numeran las 27 letras del alfabeto (A = 1, B = 2, …, N = 14, Ñ = 15, O = 16, …, Z = 27), escriben el mensaje por parejas de letras en las columnas de una matriz M de dos filas y envían C = A · M, con la matriz

    Datos

    A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 3 y 2; fila 2, 1 y 1
    1. a)

      Justifica que cualquier mensaje se puede descifrar y calcula la matriz que lo descifra.

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 3

      Descifrar es despejar M de C = A · M, y se puede si A tiene inversa: |A| = 3 · 1 − 2 · 1 = 1 ≠ 0. Entonces M = A⁻¹ · C.

      A elevado a menos 1 igual a fracción de numerador 1 y denominador valor absoluto de A, por traspuesta de la adjunta de A igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y menos 2; fila 2, menos 1 y 3

      Comprobación: A · A⁻¹ = I.

    2. b)

      Descifra el mensaje que llega:

      C igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 49 y 65; fila 2, 18 y 22

      1 punto

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 3
      M igual a A elevado a menos 1 por C igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 1 y menos 2; fila 2, menos 1 y 3 por matriz de 2 por 2: fila 1, 49 y 65; fila 2, 18 y 22 igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 49 menos 36 y 65 menos 44; fila 2, menos 49 más 54 y menos 65 más 66 igual a matriz de 2 por 2: fila 1, 13 y 21; fila 2, 5 y 1

      Columna a columna: (13, 5) son M y E, y (21, 1) son T y A. El mensaje es «META».

    3. c)

      Un día cifran por error con 2A en lugar de A. Calcula |2A|: ¿se podría descifrar? ¿Qué saldría si se descifra con A⁻¹ sin darse cuenta?

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 3

      Al multiplicar por 2 una matriz de orden 2 se multiplican por 2 sus dos filas: |2A| = 2² · |A| = 4 ≠ 0. Se puede descifrar con (2A)⁻¹ = ½ A⁻¹.

      Con A⁻¹ saldría A⁻¹ · 2A · M = 2M: todos los números doblados. Con el mensaje anterior, 26, 10, 42 y 2; el 42 no es ninguna letra y el error salta a la vista.

    Para repasar: Matriz inversa · Matrices · Calculadora de matrices

  4. 4 Un límite y una función a trozos (2 puntos)

    Análisis: límites, continuidad y derivabilidad

    Ejercicio sin contexto, como los de cálculo que siguen apareciendo en la parte optativa.

    1. a)
      Calcula límite cuando x tiende a 0 de fracción de numerador e elevado a 2x menos 1 menos 2x y denominador x al cuadrado .

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 4

      Al sustituir sale 0/0. Aplicamos la regla de L'Hôpital (derivamos numerador y denominador) dos veces, porque la primera vuelve a dar 0/0:

      límite cuando x tiende a 0 de fracción de numerador e elevado a 2x menos 1 menos 2x y denominador x al cuadrado igual a límite cuando x tiende a 0 de fracción de numerador 2 e elevado a 2x menos 2 y denominador 2x igual a límite cuando x tiende a 0 de fracción de numerador 4 e elevado a 2x y denominador 2 igual a 2
    2. b)
      Halla a y b para que f sea continua y derivable en x igual a 2: f de x igual a llave: x al cuadrado más ax, si x menor o igual que 2; b logaritmo neperiano de x menos 1 más 3x, si x mayor que 2

      1,25 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 4

      Continuidad: f(2) = 4 + 2a y, por la derecha, el límite es b ln 1 + 6 = 6. Tiene que ser 4 + 2a = 6, así que a = 1.

      Derivadas laterales: a la izquierda, f′(x) = 2x + a; a la derecha, f′(x) = b/(x − 1) + 3. En x = 2, con a = 1:

      f prima de 2 elevado a menos igual a 2 por 2 más 1 igual a 5, f prima de 2 elevado a más igual a fracción de numerador b y denominador 2 menos 1, más 3 igual a b más 3

      Para que sea derivable, b + 3 = 5: b = 2. (Primero hay que imponer la continuidad: una función no puede ser derivable en un punto donde no es continua.)

    Para repasar: Límites y continuidad · Calculadora de límites · Derivadas

  5. 5 La lata de 33 cL (2 puntos)

    Análisis: optimización

    Una cooperativa quiere envasar zumo en latas cilíndricas de 330 mL (330 cm³) y gastar la menor cantidad posible de chapa.

    1. a)

      Halla el radio y la altura de la lata que gasta menos chapa (la de menor área total, tapas incluidas).

      1 punto

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 5

      Con radio r y altura h (en cm): πr²h = 330, así que h = 330/(πr²). El área es la de las dos tapas más la del lateral:

      A(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 660/r, r > 0
      A prima de r igual a 4 pi r menos fracción de numerador 660 y denominador r al cuadrado, igual a 0 implica r al cubo igual a 165 partido por pi implica r igual a raíz cúbica de 165 partido por pi, aproximadamente igual a 3,74 cm

      Y la altura, h = 330/(πr²) ≈ 7,49 cm: justo el doble del radio, es decir, la altura igual al diámetro.

    2. b)

      Comprueba que es un mínimo y calcula cuánta chapa lleva.

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 5
      A segunda de r igual a 4 pi más fracción de numerador 1320 y denominador r al cubo, mayor que 0 para todo r mayor que 0: es un mínimo.

      A ≈ 2π · 3,74² + 660/3,74 ≈ 264,4 cm².

    3. c)

      Las tapas se hacen con una chapa más gruesa que cuesta el doble por cm² que la del lateral. ¿Qué medidas hacen mínimo el coste? Compara la forma con la del apartado a).

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 5

      Contando las tapas el doble, el coste es proporcional a 4πr² + 660/r. Su derivada, 8πr − 660/r², se anula para r³ = 82,5/π:

      r = ∛(82,5/π) ≈ 2,97 cm, h = 330/(πr²) ≈ 11,89 cm

      Ahora la altura es cuatro veces el radio (el doble del diámetro): una lata más estrecha y alta, mucho más parecida a las reales. Encarecer las tapas hace que convenga hacerlas pequeñas.

    Para repasar: Derivadas · Calculadora de derivadas

  6. 6 Un medicamento en la sangre (2 puntos)

    Análisis: estudio de funciones

    La concentración de un medicamento en la sangre, t horas después de tomarlo, en miligramos por litro, es

    C(t) = 20t · e^(−t/2), t ≥ 0
    1. a)

      ¿En qué momento es máxima la concentración y cuánto vale?

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 6
      C prima de t igual a 20 e elevado a menos t entre 2, más 20t por abre paréntesis menos 1 partido por 2 cierra paréntesis e elevado a menos t entre 2, igual a 20 e elevado a menos t entre 2, abre paréntesis 1 menos t partido por 2 cierra paréntesis

      La exponencial nunca es 0, así que C′(t) = 0 solo para t = 2. Antes de las 2 horas C′ > 0 (la concentración sube) y después C′ < 0 (baja): hay un máximo.

      C(2) = 40 · e⁻¹ = 40/e ≈ 14,72 mg/L
    2. b)

      ¿Qué pasa con la concentración a largo plazo? Interprétalo.

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 6
      límite cuando t tiende a más infinito de 20t por e elevado a menos t entre 2 igual a límite cuando t tiende a más infinito de fracción de numerador 20t y denominador e elevado a t entre 2 igual a límite cuando t tiende a más infinito de fracción de numerador 20 y denominador 1 partido por 2 e elevado a t entre 2 igual a 0

      La recta C = 0 es una asíntota horizontal: el organismo va eliminando el medicamento y su concentración tiende a desaparecer (el paso de en medio es la regla de L'Hôpital, con ∞/∞).

    3. c)

      El medicamento hace efecto cuando la concentración pasa de 10 mg/L. Justifica que la alcanza antes de una hora y que a las 10 horas ya no hace efecto.

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 6

      La función g(t) = C(t) − 10 es continua en [0, 1], g(0) = −10 < 0 y g(1) = 20/√e − 10 ≈ 2,13 > 0. Por el teorema de Bolzano, hay un instante entre 0 y 1 hora en el que C = 10: ahí empieza a hacer efecto.

      A las 10 horas, C(10) = 200/e⁵ ≈ 1,35 mg/L < 10, y desde t = 2 la concentración solo baja: ya no hace efecto.

    Para repasar: Derivadas · Límites y asíntotas · Calculadora de derivadas

  7. 7 La puerta en arco (2 puntos)

    Análisis: integral definida y áreas

    La puerta de un pabellón tiene forma de arco parabólico: mide 4 m de ancho a ras de suelo y 4 m de alto en el centro.

    1. a)

      Con el origen en un extremo de la base y el eje X en el suelo, halla la ecuación de la parábola.

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 7

      La parábola corta el suelo en x = 0 y x = 4, así que y = k · x(4 − x). En el centro, x = 2, la altura es 4: 4 = k · 2 · 2, k = 1. Es y = 4x − x².

    2. b)

      Calcula la superficie de la puerta.

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 7
      S igual a integral de 0 a 4 de 4x menos x al cuadrado, de x igual a 2 x al cuadrado menos fracción de numerador x al cubo y denominador 3, evaluado entre 0 y 4, igual a 32 menos 64 partido por 3 igual a 32 partido por 3 aproximadamente igual a 10,67 m al cuadrado
    3. c)

      La parte del arco que queda por encima de 3 m de altura es una vidriera. ¿Qué superficie tiene?

      0,75 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 7

      La parábola está a 3 m de altura donde 4x − x² = 3, es decir, x² − 4x + 3 = 0: x = 1 y x = 3. La vidriera es el recinto entre la parábola y la recta y = 3:

      integral de 1 a 3 de abre paréntesis 4x menos x al cuadrado cierra paréntesis menos 3, de x igual a 2 x al cuadrado menos fracción de numerador x al cubo y denominador 3, menos 3x, evaluado entre 1 y 3, igual a 0 menos abre paréntesis menos 4 partido por 3 cierra paréntesis igual a 4 partido por 3 aproximadamente igual a 1,33 m al cuadrado

    Para repasar: Integral definida y áreas · Calculadora de integrales

  8. 8 Dos primitivas y una condición (2 puntos)

    Análisis: cálculo de primitivas

    Calcula las integrales siguientes.

    1. a)
      integral de x por e elevado a 2x, de x

      0,8 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 8

      Por partes, con u = x (du = dx) y dv = e²ˣ dx (v = e²ˣ/2):

      integral de x por e elevado a 2x, de x igual a fracción de numerador x e elevado a 2x y denominador 2, menos integral de fracción de numerador e elevado a 2x y denominador 2, de x igual a fracción de numerador x e elevado a 2x y denominador 2, menos fracción de numerador e elevado a 2x y denominador 4, más C igual a fracción de numerador e elevado a 2x abre paréntesis 2x menos 1 cierra paréntesis y denominador 4, más C
    2. b)
      integral de fracción de numerador 3x más 1 y denominador x al cuadrado menos 1, de x

      0,8 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 8

      Es racional y el denominador tiene dos raíces reales simples, x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Descomponemos en fracciones simples:

      3x + 1/(x² − 1) = A/x − 1 + B/x + 1 ⇒ 3x + 1 = A(x + 1) + B(x − 1)

      Con x = 1, 4 = 2A, A = 2; con x = −1, −2 = −2B, B = 1.

      integral de fracción de numerador 3x más 1 y denominador x al cuadrado menos 1, de x igual a 2 logaritmo neperiano valor absoluto de x menos 1 más logaritmo neperiano valor absoluto de x más 1 más C
    3. c)

      Halla la primitiva de b) que vale 5 en x = 0.

      0,4 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 8

      En x = 0, 2 ln|−1| + ln 1 + C = C, así que C = 5: F(x) = 2 ln|x − 1| + ln|x + 1| + 5, en el intervalo (−1, 1), que es donde está x = 0 y donde la función es continua.

    Para repasar: Integrales: por partes y racionales · Tabla de integrales · Calculadora de integrales

  9. 9 Un dron hacia la ladera (2 puntos)

    Geometría en el espacio: rectas y planos

    Un dron de reparto sale del punto A(0, 0, 20) y vuela en línea recta con la dirección v = (2, 1, −4). Las coordenadas están en hectómetros y el eje Z es la altura. Por un error de programación va hacia una ladera que se puede modelizar con el plano π: x + y + z = 16.

    1. a)

      Escribe las ecuaciones paramétricas de la trayectoria.

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 9

      Con el punto A y el vector v: x = 2t, y = t, z = 20 − 4t, con t ≥ 0.

    2. b)

      ¿En qué punto chocaría con la ladera?

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 9

      Sustituimos en el plano: 2t + t + 20 − 4t = 16, así que −t = −4 y t = 4. El punto de choque es P(8, 4, 4).

    3. c)

      ¿A qué distancia de la ladera estaba el dron al salir?

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 9
      d(A, π) = |0 + 0 + 20 − 16|/√(1 + 1 + 1) = 4/√3 = 4√3/3 ≈ 2,31 hm (unos 231 m)
    4. d)

      ¿Qué ángulo forma la trayectoria con la ladera?

      0,5 puntos

      Ver la solución del apartado d) del ejercicio 9

      El ángulo α entre una recta y un plano cumple sen α = |v · n| / (|v| · |n|), con n = (1, 1, 1) el vector normal del plano:

      sen α = |2 + 1 − 4|/(√21 · √3) = 1/√63 ≈ 0,1260 ⇒ α ≈ 7,24°

      Llega casi rasante: aunque al salir solo está a unos 231 m de la ladera, recorre 4√21 ≈ 18,3 hm (unos 1,83 km) antes de chocar.

  10. 10 Una prueba de cribado (2 puntos)

    Probabilidad: probabilidad total y Bayes

    Una prueba de cribado detecta una enfermedad que tiene el 2 % de la población. Si la persona está enferma, la prueba sale positiva el 95 % de las veces (sensibilidad); si está sana, sale negativa el 90 % de las veces (especificidad).

    1. a)

      ¿Qué probabilidad hay de que a una persona elegida al azar le dé positivo?

      0,6 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 10

      Con E (enferma), S (sana) y + (positivo), por el teorema de la probabilidad total (sumando las ramas del árbol que acaban en positivo):

      P(+) = P(E) · P(+ | E) + P(S) · P(+ | S) = 0,02 · 0,95 + 0,98 · 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117
    2. b)

      Si a alguien le da positivo, ¿qué probabilidad hay de que esté enfermo?

      0,6 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 10
      P(E | +) = P(E) · P(+ | E)/P(+) = 0,019/0,117 = 19/117 ≈ 0,1624
    3. c)

      Si le da negativo, ¿qué probabilidad hay de que esté sano?

      0,4 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 10
      P(S | −) = 0,98 · 0,90/1 − 0,117 = 0,882/0,883 ≈ 0,9989
    4. d)

      Un titular dice: «La prueba acierta en el 95 % de los casos, así que un positivo es casi seguro». Valóralo con tus resultados.

      0,4 puntos

      Ver la solución del apartado d) del ejercicio 10

      Es engañoso. Un positivo solo indica enfermedad en un 16 % de los casos, porque la enfermedad es rara: de cada 1000 personas, 19 son positivos verdaderos y 98, falsos positivos de gente sana. Un negativo, en cambio, sí es muy fiable (99,9 %). Por eso los cribados confirman cada positivo con una segunda prueba.

    Para repasar: Teorema de Bayes · Calculadora del teorema de Bayes

  11. 11 Paquetes de arroz de un kilo (2 puntos)

    Probabilidad: distribuciones normal y binomial

    Una máquina llena paquetes de arroz de «1 kg». El peso de cada paquete sigue una distribución normal de media 1006 g y desviación típica 8 g.

    1. a)

      ¿Qué probabilidad hay de que un paquete pese menos de 1000 g?

      0,6 puntos

      Ver la solución del apartado a) del ejercicio 11
      P de X menor que 1000 igual a P abre paréntesis Z menor que fracción de numerador 1000 menos 1006 y denominador 8 cierra paréntesis igual a P de Z menor que menos 0,75 igual a 1 menos P de Z menor o igual que 0,75 igual a 1 menos 0,7734 igual a 0,2266
    2. b)

      En una caja de 10 paquetes, ¿qué probabilidad hay de que como mucho uno pese menos de 1000 g?

      0,8 puntos

      Ver la solución del apartado b) del ejercicio 11

      Sea Y el número de paquetes ligeros de la caja: Y ~ B(10; 0,2266), suponiendo que los paquetes son independientes.

      P(Y ≤ 1) = 0,7734¹⁰ + 10 · 0,2266 · 0,7734⁹ ≈ 0,0766 + 0,2243 ≈ 0,3009

      Solo un 30 % de las cajas tendría como mucho un paquete por debajo del peso: la máquina está mal ajustada.

    3. c)

      ¿Con qué media habría que ajustar la máquina, con la misma desviación, para que solo el 5 % de los paquetes pese menos de 1000 g?

      0,6 puntos

      Ver la solución del apartado c) del ejercicio 11

      Buscamos μ con P(X < 1000) = 0,05, es decir, P(Z < (1000 − μ)/8) = 0,05. En la tabla, P(Z ≤ 1,64) = 0,9495 y P(Z ≤ 1,65) = 0,9505: el valor que deja 0,95 debajo es 1,645 (el punto medio). Por simetría, (1000 − μ)/8 = −1,645:

      μ = 1000 + 1,645 · 8 = 1013,16 g

    Para repasar: Distribución normal · Tabla de la normal · Distribución binomial · Calculadora binomial

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Consejos para el día del examen

  1. Lee el examen entero y elige las opciones en los primeros minutos; cambiar a mitad cuesta más tiempo del que parece.
  2. Reparte el tiempo por puntos: en 90 minutos, unos 16 o 17 minutos por pregunta de 2 puntos y algo de margen para repasar.
  3. Escribe el planteamiento aunque no termines: los criterios lo puntúan por separado.
  4. Comprueba lo que se pueda comprobar: un sistema, sustituyendo; una primitiva, derivando; una probabilidad, que esté entre 0 y 1.
  5. Termina cada pregunta con una frase que responda a lo que se pregunta, con sus unidades.

Para entender cómo se construyen las preguntas con contexto y qué pide cada verbo, lee la guía del examen competencial, con un plan de estudio para imprimir.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas preguntas tiene el examen de Matemáticas II?

Depende de la comunidad. En Madrid, cinco de 2 puntos: tres obligatorias y dos a elegir entre dos, también en el modelo de 2027. En Andalucía, en 2027 serán siete ejercicios de los que se responden cinco de 2 puntos; en 2026 fueron seis y se respondían cuatro de 2,5.

¿Están bien las soluciones de esta página?

Cada cifra está calculada por código y comprobada dos veces: con los motores de matemáticas de Aulapedia y con un programa aparte. En el examen de Madrid, además, coinciden con las soluciones orientativas de las universidades. Si encuentras un error, escríbenos desde la página de contacto y lo corregimos.

¿Se puede usar calculadora?

En Andalucía, sí: una no programable, sin gráficos ni capacidad de guardar o transmitir datos (lo dicen las instrucciones del examen y las orientaciones). En Madrid, el examen y el modelo de 2027 no lo indican: confírmalo con tu centro o en la web de tu universidad. En cualquier caso, los puntos los da la justificación, no el número.

¿Los ejercicios tipo PAU son de exámenes oficiales?

No. Los ha escrito Aulapedia con situaciones propias (un obrador de pan, una lata de 33 cL, un dron, una prueba de cribado) y cifras comprobadas con los motores de matemáticas de la web. Los oficiales solo se enlazan: tienen derechos de autor de sus organismos.

Fuentes: los documentos oficiales enlazados en cada comunidad y en cada examen (consultados el 14 de octubre de 2026), el Real Decreto 534/2024, de 11 de junio (BOE núm. 142, de 12 de junio de 2024) y el Real Decreto 243/2022 (anexo de Matemáticas II). Aulapedia no está afiliada a las universidades públicas de la Comunidad de Madrid, a la Junta de Andalucía ni a ningún organismo organizador de la prueba: usamos el nombre de la prueba para que la encuentres. Los exámenes oficiales son de sus organismos; aquí solo se enlazan y se citan para resolverlos. Las resoluciones y los ejercicios tipo PAU son de Aulapedia.